文档介绍：第三章向量组的线性相关性和矩阵的秩
(一)基本要求:
(二)内容分析和教学指导
(1)从解方程的过程引出所要解决的问题,每个方程对应于一个行向量,某个方程可由其它方程表示,则该方程可去掉,为无效方程。这对应于讨论向量组中是否有某个向量可由其它向量线性表示,即向量的线性相关性问题。去掉无效方程后的方程求解,需要确定自由未知量和保留未知量,涉及最后的方程系数行列式不等于零的问题
(2)向量的线性运算及其性质,和矩阵的运算相对应。
(3)向量线性相关性的定义和判断:线性相关性定义使用于理论证明,把相关性问题转化为向量方程(即方程组)有无非零解的问题,而等价定义使相关性的含义更加明确。为了加深相关性的定义,对与一个向量,两个向量和三个向量线性相关的几何意义加以强调:单个零向量是线性相关的,两个向量相关是指两个向量共线,三个向量相关是共面。通过利用相关性定义来判断向量组线性相关,重点培养学生的利用概念分析判断,进行逻辑推理的能力。
定义理解中的误区:(1)定义中的系数是独立的,(2)非零组合系数是相对向量组的,不同向量组对应的系数可能不同,(3)向量组线性相关则至少有一个向量可以由其它向量线性表示,至于是那一个向量是依赖于具体的向量组,并不是每个向量都可由其它向量变来表示。
列向量组的线性相关性和线性表示的矩阵表示,行向量组线性相关性和线性表示的矩阵表示。重点是列向量组表示的矩阵形式。
(4)相关表示式的分量形式是理解相关性定理的基础和本质,一个分量对应一个方程,一个向量对应一个未知数。
用子式判断向量的线性相关性的方法,子式不等于对应于只有零解,对应于线性无关,子式等于零对应于有非零解,对应线性相关。
(5)最大无关组和矩阵的秩:重点理解矩阵秩的定义和含义,牢固建立矩阵和向量组的对应关系。矩阵的秩等于行向量组的秩,等于列向量组的秩,就是非零子式的最高阶数。掌握最高阶非零子式和向量组的最大无关组之间的对应关系,子式为零对应于线性相关,子式非零对应于线性无关。
定理的证明重要的是说明思路,关键是理解并利用结论进行推理证明。
重点是利用子式确定矩阵的秩和最大无关组。
(6)初等变换对向量组的影响,初等行变换和化简方程的对应关系。标准形所保留的信息,(变换不变量是矩阵的秩)。可逆矩阵
(7)通过简单的例子说明左乘相当于行变换,右乘相当于列变换,关键是理解其意义。通过求逆阵的初等变换方法可得到一种解矩阵方程的方法
(8)介绍向量空间,子空间的基本概念,对比基和最大无关组的定义,加深对基和最大无关组,向量组和向量空间的理解(除零空间外,向量空间是无限的,而向量组可以是有限的)。
生成子空间的概念及其生成子空间的表示。
(四)习题指导(习题3)
1.     设,求及。
2.     设,其中,求。
3.     设是m个n维向量,试问:
(1)若有m个数存在,使得

那么是否线性无关?
解:主要考察定义中的“不全为零的一组数”的理解,若这组数至少有一个非零,则可判定线性相关。没有这一限制是没有意义的,因为全部取零系数,不管向量组是什么,上式总是成立的。因此,不能判断向量组的线性相关性。
(2)若有m个不全为零的数使得

那么是否线性相关?
解:定义中的组合式是“=”,改为“不等于”则不能说明向量的线性相关性。
(3)若线性相关,则一定可由线性表示吗?
解:相关性等价定义中是说:向量组中至少有一个向量可由其它向量线性表示,至于是那一个向量可由其它向量线性表示,则要以来于具体的向量组。不能断定一定可由线性表示。
4.     设与都是n维向量,下面的证明是否正确?
(1)若向量组线性相关,向量组线性相关,则有不全为零的数,使得

由此推出

于是向量组也线性相关。
解:向量组线性相关,则存在一组的非零组合系数,这组组合系数是依赖于向量组的,不同的向量组其组合系数可能不一样。以上证明中就是忽略了这一点,故是错误的。
(2)若
只有当时才成立,那么
一定线性无关。
解:定义中的组合系数是独立的,上式中的系数不独立,只能推知是线性无关的。
5.     将向量表示成的线性组合:
(1)
解:设,按分量展开得到

求解得到,即
(2)
 
 
解:设,按分量展开得到
用Gramer法则或用如下方法简化
可知,即
6.     判断下列向量组的线性相关性:
(1)
解:法一,应用定义,设,即
得到方程组,系数行列式为
,不能用Gramer法则,由定理可知存在非零解。
事实上,由第一式知,代入其它方程得到

取,得到,故,因此线性相关。
或者由定理知,系数行列式等于零,则齐次方程组有非零解,故向量组线性相关。
法二、这是三个三维