文档介绍：第六章 Fourier 级数
§1 周期函数 Fourier 级数
引言
在科学与工程中时常遇到周期现象, 自然地, 通常用周期函数刻画它们. 蒸汽机和各种
转动设备都是周期现象的实例, 由发电机产生的交流电也是周期现象的实例. 这样, 如蒸汽
机中十字头的路程、速度、加速度、蒸汽压力和交流电中的电压、电流等都用周期函数来刻
画.
如果存在一个正数T > 0 , 使得
ϕ(t +T) = ϕ(t) ,
我们就称ϕ(t) 为周期函数, T 称为一个周期. 如果存在最小的周期 T0 , 我们称ϕ(t) 是以T0
为周期的周期函数.
最简单的周期函数是正弦型函数:
Asin( ω t +α) , (1)
它正好刻画了力学上的调和振动(或简谐振动). 其中ω是频率, 它与周期的关系是
2π
ω= , (2)
T
A 是振幅, α是初始相位.
用这类简单的周期函数可以组成比较复杂的周期函数. 因为频率相等的正弦型函数之
和仍是一个同频率的正弦型函数, 所以用以组成复杂函数的各正弦型函数必须有不同的频
率.
例如三个正弦型函数之和
1 1
sin t + sin 2t + sin 3t ,
2 4
图形就已经相当复杂了. 在 Mathematica 软件中可画它的图形.
Plot[Sin[t]+1/2Sin[2t]+1/4Sin[3t], {t,-2Pi,2Pi}].
可以想象如果用无穷级数, 就可以表示各种各样的复杂函数了:
+¥
( )
ϕ(t) = A0 + å An sin( nω t +α n ) , 3
n=1
几何上看, (3)表明周期函数ϕ(t) 的图形可以由一系列正弦型函数图形叠加而成. 力学上
看, 由函数ϕ(t) 表示的复杂振动可以分解成调和振动的和. 将周期函数分解成调和振动函
æ x ö
数的过程称为调和分析. 作简单变量替换 x =ω t , 得函数 f (x) = ϕç ÷ , 则(3)式成为
èωø
142
+¥
( )
f (x) = A0 + å An sin( nx +α n ) . 4
n=1
由和差化积公式, 我们可把(4)改写为
+¥
( )
f (x) = a0 + å(an cos nx + bn sin nx) , 5
n=1
其中 A0 ­ a0 , An sin α n = an , An cosα n = bn . (5)式称为周期函数 f (x) 的 Fourier 级数
展开. 这里产生一系列基本的数学问题:
(1) 给定一个周期 2π的函数, 在什么条件下它有 Fourier 级数展开式?
(2) 如果一个函数存在 Fourier 级数展开式, 如何获得这种展开, 即如何确定展开系数
an ,bn , 它们也称为 Fourier 系数.
(3) Fourier 级数展开式何时在某种意义下收敛?收敛到什么值?
(4) 何种条件下 Fourier 级数展开式收敛到 f (x) ?
本章将部分地解决这些问题, 它们的完全解决须要一门专业课程.
Fourier 级数展开
函数 f (x) 在[­π,π] 上 Riemann 可积, 我们可以推出 f (x) 在[­π,π] 上也 Riemann 可
π
积. 当积分 f (x)dx 有瑕点时, 我们假设它绝对可积. 这两种情况合在一起, 我们称之为
ò­π
绝对可积.
定义:以 2π为周期的函数 f (x) 在[­π,π] 上绝对可积, 则存在它的 Fourier 级数展开
+¥
f (x) ~ a0 + å(an cosnx +bn sin nx) ,
n=1
其中
1 π
a0 = f (x)dx,
2πò­π
1 π
am = f (x)cosmxdx, m =1,2,3,L, (6)
πò­π
1 π
bm = f (x)sin mxdx, m = 1,2,3,L.
πò­π
需要说明公式(6)中三个积分有意义:
f (x) 在[­π,π] 上绝对可积, 即
π
f (x) dx < +¥,
ò­π
则
143
1 π 1 π
f (x)dx £ f (x) dx < +¥,
2πò­π 2πò­π
1 π 1 π 1 π
f (x)cos mxdx £ f (x) cosmxdx £ f (x) dx < +¥,
πò­ππò­ππò­π
1 π 1