文档介绍：第五章方差分析§ 协方差分析在方差分析中,因素是可以控制的,每个水平都可以人为地达到。但是在一些实际问题中,有些因素是不可能控制的或是难以控制的。考虑这些因素的影响,并作方差分析的方法称为协方差分析。例题研究三种肥料对苹果的增重效果(肥料因子 A 有 3 个水平),又要考虑苹果树原来产量的影响。选 24 株同龄苹果树,以它们第一年的产量 x ( kg )为协变量,每 8 株施一种肥料,以第二年产量 y ( kg )为因变量,得到数据如表。问三种肥料对苹果树增重有无显著差异?哪些肥料效果好?第一年产量与苹果增重有无明显关系? 表 66 69 64 70 61 54 58 52 y 69 64 63 62 62 67 53 54 y 50 61 66 56 51 63 66 54 y x x x 53 58 57 59 50 46 48 44 Ⅲ 66 63 61 59 58 64 53 52 Ⅱ 44 54 56 49 46 53 58 47 Ⅰ样本 x , y 肥料因素 A (水平) 此问题中, A 1 ,A 2 ,A 3 三个水平是可以控制的,它们作为分类变量 A 的值,而苹果第一年产量 x 是不可控制的,要分析 x 与苹果增加重量的关系,我们把它作为普通变量,即协变量来处理。画出 x 与 y 的散点图,观察这两个量的关系可看出, x 与 y 之间有明显的线性关系。于是我们假设: ( 1 )第一年重量 x 和增加重量 y 之间有线性关系 bx b y ?? 0 再考虑肥料因素对增重的影响,我们设: ( 2 )施用肥料 A i , 苹果增重为μ i ( 3 )影响苹果增重的随机误差为) σ, ~N( ε ij 2 0 ij ?综合上述假设,得到数学模型: 并且 ij ?相互独立。 ij i ij ij bx y ??????? b i 0 ????令 3 2 1 , , i ? 8 2 1 , , , j ??) σ, ~N( ε ij 2 0 其中 ,并且相互独立, 0 3 1 ??? i i α例题某园艺家研究花的品种 v 和温度 m 对鲜花产量 y 的影响. 由于试验的地块大小不一样,他决定引用面积 x 为协变量, m 与 v 各取两个水平 1 和 2 ,对 4 种组合各试验 6 次,数据如表。他打算分析 x 与 y 的关系,并分析因素 m 与 v 对鲜花产量 y 的影响。 X : 11 , 10 , 2 , 3 , 7 , 9 Y : 76 , 68 , 43 , 47 , 62 , 70 X : 10 , 12 , 14 , 13 , 2 , 3 Y : 71 , 80 , 86 , 82 , 46 , 35 m 2 X ; 4 , 5 , 8 , 7 , 13 , 11 Y : 55 , 60 , 75 , 65 , 87 , 78 X : 15 , 4 , 7 , 9 , 14 , 5 Y : 98 , 60 , 77 , 80 , 95 , 65 m 1 v 2 v 1 因素 v 试验结果因素 m 表考虑面积对鲜花产量有线性影响,我们以 x 为协变量建立数学模型: ijk ij j i ijk ijk bx y ??????????? 2 1 , i ? 2 1 , j ?是因素 v 的效应, 6 2 1 , , , k ??? i ) σ, ~N( ε ijk 2 0 其中,并且相互独立。是因素 m 的效应, ? i 是交互效应, ? ij x 为协变量,