课件14 反常积分的收敛判别法.pdf

文档介绍：§2 反常积分的收敛判别法
反常积分的 Cauchy 收敛原理
∞+
下面以)( dxxf 为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
∫a
∞+ A
由于反常积分)( dxxf 收敛即为极限 lim )( dxxf 存在,因此对
∫a A→+∞∫a
其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理,它可以
表述为如下形式:
§2 反常积分的收敛判别法
反常积分的 Cauchy 收敛原理
∞+
下面以)( dxxf 为例来探讨反常积分敛散性的判别法。
∫a
∞+ A
由于反常积分)( dxxf 收敛即为极限 lim )( dxxf 存在,因此对
∫a A→+∞∫a
其收敛性的最本质的刻画就是极限论中的 Cauchy 收敛原理,它可以
表述为如下形式:
+∞
定理 ( 收敛原理) 反常积分 fxdx() 收敛的充
Cauchy ∫a
分必要条件是:对任意给定的ε> 0,存在 0 ≥ aA ,使得对任意 AA, ′≥ A0 ,
有
A′
)( dxxf < ε。
∫A
定义 设 fx()在任意有限区间[,aA ]⊂[,a +∞)上可积,且
+∞∞+
|()|fx dx收敛,则称)( dxxf 绝对收敛(或称 fx()在[,a +∞)上绝对
∫a ∫a
可积)。
∞+ ∞+
若)( dxxf 收敛而非绝对收敛,则称)( dxxf 条件收敛(或称
∫a ∫a
fx()在[,a +∞)上条件可积)。
∞+
推论若反常积分)( dxxf 绝对收敛,则它一定收敛。
∫a
+∞
证对任意给定的ε> 0,由于|()|fx dx收敛,所以存在≥ aA ,使
∫a 0
得对任意 AA, ′≥ A0 ,成立
A′
|)(| dxxf < ε。
∫A
利用定积分的性质,得到
A′ A′
)( dxxf ≤|)(| dxxf < ε,
∫A ∫A
∞+
由 Cauchy 收敛原理,可知)( dxxf 收敛。
∫a
虽然 Cauchy 收敛原理是判别反常积分收敛性的充分必要条件,
但是对于具体的反常积分,在使用上往往比较困难,因此需要导出一
些便于使用的收敛判别法。

我们先讨论非负函数反常积分的收敛判别法。
非负函数反常积分的收敛判别法
定理 (比较判别法) 设在[,a +∞)上恒有≤≤ϕ xKxf )()(0 ,其
中 K 是正常数。则
∞+ ∞+
(1) 当ϕ)( dxx 收敛时)( dxxf 也收敛;
∫a ∫a
∞+ ∞+
(2) 当)( dxxf 发散时ϕ)( dxx 也发散。
∫a ∫a
∞+ sin2cos xx
例 讨论 dx 的敛散性(a 是常数)。
∫1 23
+ ax
解因为当 x ≥1时有
xx 1sin2cos
≤,
+ ax 23 xx
+∞ 1 ∞+ sin2cos xx
在例 中,已知 dx 收敛,由比较判别法, dx 绝
∫1 ∫1 23
xx + ax
∞+ sin2cos xx
对收敛,所以 dx 收敛。
∫1 23
+ ax

注意:在以上定理中,条件“在[,a +∞)上恒有≤≤ϕ xKxf )()(0 ”,
可以放宽为“存在≥ aA ,在 A + ∞),[ 上恒有≤≤ϕ xKxf )()(0 ”。
推论(比较判别法的极限形式)设在[,a +∞)上恒有 fx()≥ 0和
ϕ x ≥ 0)( ,且
xf )(
lim = l ,
x +∞→ϕ x)(
则
∞+ ∞+
⑴若 0 ≤<l +∞,则ϕ)( dxx 收敛时)( dxxf 也收敛;
∫a ∫a
∞+ ∞+
⑵若 0 <≤l +∞,则ϕ)( dxx 发散时)( dxxf 也发散。
∫a ∫a
∞+ ∞+
所以,当 0 <<+∞l 时, ϕ)( dxx 和)( dxxf 同时收敛或同时发散。
∫a ∫a
xf )(
证⑴若 lim l +∞<= ,则存在常数 A ≥ a ,当≥ Ax 时成立
x +∞→ϕ x)(
xf )(
l +< 1,
ϕ x)(
即
< + ϕ xlxf )()1()( 。
∞+ ∞+
于是,由比较判别法,当ϕ)( dxx 收敛时)( dxxf 也收敛。
∫a ∫a
xf )(
证⑴若 lim l +∞<= ,则存在常数 A ≥ a ,当≥ Ax 时成立
x +∞→ϕ x