文档介绍：第十一章反常积分
§1 反常积分概念及其性质
例1 证明:若在上连续,且收敛,则对任何,有
证,由条件都存在;再由连续,便可证得
例2 设收敛。证明:
(1)若极限存在,则;
(2)若在上为单调,则。
证(1)设。若(设),则由极限保号性,,当时满足
于是有
而这与收敛相矛盾,故A=0。
(2)若在上单调而无界(设为递增而无上界),则,,当时,使。类似于(1)的证明,推知,矛盾。所以,在上单调而有界,。依据已证得的命题(1),。
例3 证明:若收敛,且在上一致连续,则必有。
证由在上一致连续,,当时,总有
。
又因收敛,故对上述,当时,有
现对任何,取,且使此时由
便得这就证得
说明我们由例2与例3(结合前面讨论过的问题1)知道,在为收敛的前提下,再添加上一些合适的条件,便能保证有
例4 说出以下命题成立的理由:
“若则(n为正整数)。”并举例说明此命题一般不可逆。
解设,由条件
根据函数极限的归结原则,对一切满足的数列,恒有
特别取时,亦有
反之不真,例如
显然,,从而;然而却因
使得,从而不存在。
如果在上不变号,则在上是单调的(当时递增,当时递减)。对于单调函数而言,只要有一个数列,使得,便能保证。所以,在不变号的前提下,本例所讨论的命题可逆。
例5 试求下列反常积分的值:
(1) (2)
(3)
解(1)应用不定积分递推公式:
得到
由于,因此求得
(2)利用例4,并通过分段积分来计算:
(3)此为瑕积分,瑕点为0。令,化为
由此求得
例6 设为条件收敛。证明:
(1)与
都为发散;
(2)
证(1)用反证法。倘有其一收敛,则由收敛的线性性质推得
亦收敛。而这与为条件收敛的假设相矛盾,所以这两个无穷积分都是发散的,且
意即它们都是无穷大量。
(2)这里是要证明(1)中两个正无穷大量是等价无穷大量。为此考察
()
由假设与(1)的结论,已知
为一常数,而
所以()式左边当时的极限为0,故结论得证。
注本例(1)中的两个无穷积分,其被积函数与的特征分别是保留了的正值与负值(相差2倍)。正如前面讨论问题2时所言,条件收敛的反常积分靠的是正、负相消才能收敛,如果失去了“相消”作用(如当前情形),就立刻变成发散,这就是条件收敛的本质所在。
§2 反常积分收敛判别
例1 证明:若绝对收敛,存在,则必定绝对收敛。又若把
改设为条件收敛,试举出反例说明不一定收敛。
证由,可知当充分大时有
从而又有
再由,根据比较法则便证得收敛。
例如对于条件收敛的和
得到
由于收敛,而
显然是发散的,所以也是发散的无穷积分。
例2 证明:当时,是等价无穷小量。
证显然,又因
所以收敛,由收敛定义又知(参见§1的()式)
这说明当时,它们都是无穷小量;下面再来证明它们是等价无穷小量。
借助§1例1和洛必达法则,可得
故结论成立。
例3 讨论下列反常积分的敛散性:
(1) (2)
(3) (4)
解(1)注意这里的与都是发散的无穷积分,两者之差没有收敛或发散的肯定结论。为此,需要先把被积函数合成为一个分式:
对于充分大的保持与()相同的正、负号,因此, 收敛与绝对收敛