文档介绍：章节题目
第三节数列的极限
内容提要
研究数列及其变化规律;
讲授极限思想,精确定义,几何意义;
收敛数列的性质:有界性、极限的唯一性.
重点分析
极限思想,精确定义,几何意义;
收敛数列的性质:有界性、极限的唯一性.
难点分析
极限思想,精确定义
收敛数列的有界性
习题布置
:2、3(1)(3)、4、5
备注
教学内容
一、概念的引入
1、割圆术:
“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽
正六边形的面积;正十二边形的面积;
正形的面积
2、截丈问题:
“一尺之棰,日截其半,万世不竭”
二、数列的定义
定义:按自然数编号依次排列的一列数
(1)
称为无穷数列,,称为通项(一般项).数列(1)记为.
例如:

注意:

三、数列的极限
问题: 当无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?
通过上面演示实验的观察:
问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.

定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数,使得对于时的一切,不等式都成立,那末就称常数是数列的极限,或者称数列收敛于,记为
或
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
注意:
其中
几何解释:
注意:数列极限的定义未给出求极限的方法.
例1
证:

所以,

例2
证:

所以,
说明:常数列的极限等于同一常数.
小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.
例3
证

例4
证:

四、数列极限的性质

定义: 对数列, 若存在正数, 使得一切自然数, 恒有成立, 则称数列有界, 否则, 称为无界.
例如, 有界