文档介绍：第二章数列极限
教学目的:
,熟练收敛数列的性质;
,会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。要求学生:、单调、,并能运用语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述;理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质;掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理,会用这些定理求某些收敛数列的极限;初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义,并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性;
教学重点、难点:本章重点是数列极限的概念;难点则是数列极限的定义及其应用.
教学时数:14学时
§ 1 数列极限的定义
教学目的:使学生建立起数列极限的准确概念;会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。
教学重点、难点:数列极限的概念,数列极限的定义及其应用。
教学时数:4学时
一、引入新课:以齐诺悖论和有关数列引入——
二、 讲授新课:
(一)数列:
——: 通项,.
: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列.
(二) 数列极限: 以为例.
定义( 的“”定义)
定义( 数列收敛的“”定义)
注::的正值性, 任意性与确定性,以小为贵; :的存在性与非唯一性,对只要求存在,.
(三)用定义验证数列极限: 讲清思路与方法.
例1
例2
例3
例4
证
注意到对任何正整数时有就有
于是,对取
例5 
证法一令有用Bernoulli不等式,有
或
证法二(用均值不等式)
例6
证时,
例7 设证明
(四)收敛的否定:  
定义( 的“”定义).
定义( 数列发散的“”定义).
例8 验证
(五)数列极限的记註:
1.  满足条件“”的数列
2.  改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性:
3.  数列极限的等价定义:
对
任有理数
对任正整数
(六)无穷小数列: 定义.
( 数列极限与无穷小数列的关系).
  § 2 收敛数列的性质(4学时)
教学目的:熟悉收敛数列的性质;掌握求数列极限的常用方法。
教学重点、难点::迫敛性定理及四则运算法则及其应用,数列极限的计算。
教学时数:4学时
一. 收敛数列的性质:  
1.  极限唯一性:( 证) 
2.  收敛数列有界性——收敛的必要条件:( 证) 
3.  收敛数列保号性: 
Th 1 设若则( 证)由于已知条件中对都成立,而结论是比较数列项的关系,证明时只需找到一个,使与之对应的N满足条件即可!
系1 设若, (注意“= ”;并注意和的情况).由于结论是比较数列极限的关系,证明时必须对都成立!
系2 设或. 则对(或(或
系3 若则对
绝对值收敛性见后.
4.      迫敛性( 双逼原理):
Th 2 ( 双逼原理). ( 证)
5.      绝对值收敛性:
Th 3 ( 注意反之不正确).
( 证)
系设数列{ }和{ }收敛, 则
( 证明用到以下6所述极限的运算性质). 
6.      四则运算性质:  
Th 4 ( 四则运算性质, 其中包括常数因子可提到极限号外). ( 证) 
7. 子列收敛性: 子列概念.
Th 5(数列收敛充要条件) {}收敛{}的任何子列收敛于同一极限.
Th 6 (数列收敛充要条件) {}收敛子列{}和{}收敛于同一极限.
Th 7 ( 数列收敛充要条件) { }收敛子列{ }、{ }和{ 都收敛. ( 简证)
二.  利用数列极限性质求极限:
两个基本极限:
:
例1
註: 关于的有理分式当时的极限情况
例2  填空:
⑴
⑵
例3
例4
2.  双逼基本技法: 大小项双逼法,参阅[4]P53.  
例5 求下列极限:
⑴
⑵
⑶
例6 (
例7 求证
例8 设存在. 若则
三.  利用子列性质证明数列发散:
例9 证明数列发散.
  § 3 收敛条件(4学时)
教学目的:使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。
教学要求:
1. 掌握并会证明单调有界定理,并会运用它求某些收敛数列的极限;
2. 初步理解