文档介绍：第十八章
第二节
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一、一个方程所确定的隐函数
及其导数
二、方程组所确定的隐函数组
及其导数
隐函数
二、方程组所确定的隐函数组及其导数
隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.
由 F、G 的偏导数组成的行列式
称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式.
以两个方程确定两个隐函数的情况为例,
即
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定理3.
的某一邻域内具有连续偏
设函数
则方程组
③
的单值连续函数
且有偏导数公式:
①在点
②
的某一邻域内可唯一确定一组满足条件
满足:
导数;
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:
(P34-P35)
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有隐函数组
则
两边对 x 求导得
设方程组
在点P 的某邻域内
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故得
系数行列式
同样可得
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例4. 设
解:
方程组两边对 x 求导,并移项得
求
练习: 求
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答案:
由题设
故有

在点(u,v) 的某一
1) 证明函数组
( x, y) 的某一邻域内
2) 求
解: 1) 令
对 x , y 的偏导数.
在与点(u, v) 对应的点
邻域内有连续的偏导数,且
唯一确定一组单值、连续且具有
连续偏导数的反函数
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①式两边对 x 求导, 得
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则有
由定理 3 可知结论 1) 成立.
2) 求反函数的偏导数.
①
②
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从方程组②解得
同理, ①式两边对 y 求导, 可得