文档介绍：章节题目
第四节、几种特殊类型函数的积分
内容提要
有理函数的积分
三角函数有理式的积分
简单无理函数的积分
重点分析
有理函数的积分
难点分析
如何将有理函数化为部分分式之和
习题布置
:单数
备注
教学内容
一、有理函数的积分
有理函数的定义:两个多项式的商表示的函数称之.
其中、都是非负整数;及都是实数,
并且,.
假定分子与分母之间没有公因式
这有理函数是真分式;
这有理函数是假分式;
利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.
例
难点:将有理函数化为部分分式之和.
有理函数化为部分分式之和的一般规律:
分母中若有因式,则分解后为
其中都是常数.
特殊地:分解后为
(2)分母中若有因式,其中则分解后为
其中都是常数.
特殊地:分解后为
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
解:

例2
解:
代入特殊值来确定系数,取,取
取并将A,B值代入(1)

例3
整理得

例4 求积分
解:
例5 求积分
解:
例6 求积分
解:令

说明:将有理函数化为部分分式之和后,只出现三类情况:
多项式;
讨论积分
令记
则

这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数.
结论:有理函数的原函数都是初等函数
二、三角函数有理式的积分
三角有理式的定义:

令,,(万能置换公式)

例7 求积分
解:由万能置换公式,

()
例8 求积分
解(一)
解(二)修改万能置换公式, 令
解(三)可