文档介绍：第三章特征值问题与特殊函数
二阶常微分方程的幂级数解法
特征方程为
特解
二阶常微分方程幂级数解法
1. 变系数→常系数（不是都可以用）
2. 幂级数法
f(x)——Taylor展开
在收敛区域内
收敛半径
解析：若 f(x) 在0点的某个邻域内C∞，且Taylor级数收敛，称 f 在0点解析。
解析函数由局部性质可推知整体性质.
二阶常微分方程幂级数解法
幂级数解法理论概述
用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波动方程、输
运方程进行变量分离，就出现连带勒让德方程、勒让德方程、
贝塞尔方程、球贝塞尔方程等特殊函数方程．用其他坐标
系对其他数学物理偏微分方程进行分离变量，还会出
现各种各样的特殊函数方程．它们大多是二阶线性常
微分方程．这向我们提出求解带初始条件的线性二阶常微分方程定解问题。
二阶常微分方程幂级数解法
我们讨论复变函数
的线性二阶常微分方程
（）
其中Z为复变数，
为选定的点，
为复常数．
二阶常微分方程幂级数解法
这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，
但可用幂级数解法解出．所谓幂级数解法，就是在某个任
意点
的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，
代入方程以逐个确定系数．
二阶常微分方程幂级数解法
幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较
广，可借助于解析函数的理论进行讨论．
求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围
的问题．
尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微
分方程的求解问题中．
二阶常微分方程幂级数解法
定义常点奇点
如果方程（）的系数函数
和
在选定的点
的邻域中是解析的，则点
方程（）的常点.
如果选定的点
是
或
的奇点，则点
叫作方程（）的奇点．
叫作
1．方程的常点和奇点概念
二阶常微分方程幂级数解法
2. 常点邻域上的幂级数解定理
若方程（）的系数
关于线性二阶常微分方程在常点邻域上的级数解，有
下面的定理．
和
为点
的邻域
中的解析函数，
则方程在这圆中存在唯一的解析解
满足
初始条件
，其中
是任意给定的复常数．
二阶常微分方程幂级数解法
故可以把它表示为此邻域上的泰勒级数.
既然线性二阶常微分方程在常点
的邻域
上存在唯一的解析解，
（）
其中
为待定系数
二阶常微分方程幂级数解法
为了确定级数解（）中的系数，具体的做法是以
（）代入方程（），合并同幂项，令合并后的系数
分别为零，找出系数
之间的递推关系，
最后用已给的初值
，
来确定各个系数
从而求得确定的级数解．
下面以
阶勒让德方程为例，具体说明级数解法的步骤．
二阶常微分方程幂级数解法