文档介绍：第3章集合的基本概念和运算
集合的基本概念与表示
集合的基本运算
集合元素的计数
例题选解
习题三
集合的基本概念与表示
一些不同对象的全体称为集合, 通常用大写的英文字母A, B, C…表示。
严格地说这算不得集合的定义, 因为“全体”只是“集合”一词的同义反复。在集合论中, 集合是一个不能严格定义的原始概念(就像几何学中的点、线、面等概念)。对象: 组成集合的元素。用小写英文字母a, b, c…表示。
如果a是A的元素, 则记为 a∈A, 读作“a属于A”或“a在集合A之中”。
如果a不是A的元素, 则记为aA或(a∈A), 读作“a不属于A”或“a不在集合A之中”。
  其中“∈”表示一种关系。
在我们所研究的集合论(古典集合论)中, 对任何对象a和任何集合A, 或者a∈A或者aA, 两者必居其一且仅居其一。这正是集合对其元素的“确定性”要求。随着科学的发展, 由控制论的研究所引起的当代数学的一个新领域——模糊集合论, 所研究的不清晰的对象构成的集合, 不在我们讨论的范围内。
集合有三个特性: 确定性、互异性和无序性。
(1) 确定性: a∈A或aA, 二者必居其一并仅居其一。
(2) 互异性: {1, 2, 3, 2} 与{1, 2, 3}视作一个集合。
(3) 无序性: {1, 2, 3}、{2, 3, 1} 与{3, 1, 2} 视为一个集合。
集合 A 中的不同的元素的数目, 可称为集合 A 的基数或者势, 记为|A|。基数有限的集合称为有穷集合, 否则称为无穷集合。表示一个集合的方法通常有两种。
(1) 列举法: 将集合的元素列举出来并写在一个花括号里, 元素之间用逗号分开。例如, 设A是由a, b, c, d元素构成的集合, B是由a, {b}, {{c, d}}为元素构成的集合, 则A={a, b, c, d}, B={a, {b}, {{c, d}}} , 集合B说明集合也可用作元素, 因此, 尽管集合与其元素是两个截然不同的概念, 但一个集合完全可以成为另一个集合的元素。
列举法基本上用于有限集合, 如果能说明集合的特征, 也可只列出部分元素, 其余的用省略号表示。如自然数集可用列举法表示为 N ={0, 1, 2, 3, 4, 5, …}, 根据所列元素, 可判断 N 中的其余元素。
列举法使集合中的元素一目了然, 但是元素个数很多时使用起来就很麻烦, 另外, 有很多集合, 如大于0而小于1的所有实数的集合就不能用列举法表示。为此引入另一种表示方法。
(2) 描述法: 规定一个集合A时, 将A中元素的特征用一个谓词公式来描述, 用谓词P(x)表示x具有性质P, 用{x|P(x)} 表示具有性质P的集合A, 即A={x|P(x)}。它表示集合A是使P(x)为真的所有元素x构成的集合, P(x)是任意谓词。 P(a)为真的充分必要条件是a∈A, P(a)为假的充分必要条件是aA。
【】
(1) 设P(x) :x 是英文字母, 则S={x|P(x)} 表示26个英文字母的集合。
(2) N ={0, 1, 2, 3, …}={x|x是自然数}
(3) I+ ={1, 2, 3, …}={x|x是正整数}
(4) I = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}={x|x是整数}
(5) Im={0, 1, 2, …, m-1}={ x|x(N∧0≤x<m}
(6) E ={…, -4, -2, 0, 2, 4, …}
={x|x是偶数}
={x|x∈I∧2|x} (2|x表示2整除x)
(7) 前n个自然数集合的集合
={{0}, {0 , 1}, {0, 1, 2}, …}
={x|x=In∧n∈}
={In |n∈}
(In= {0, 1, 2, …,n-1})
由此可见, 表示一个集合的方法是很灵活多变的, 必须注意准确性和简洁性。为方便起见, 本书中指定下列常见数集符号:
N (Natural) 表示自然数集合(含0)
I (Integer) 表示整数集合, 本书中我们也常用 Z表示整数集合
Q (Quotient) 表示有理数集合
R (Real) 表示实数集合
C (Complex) 表示复数集合
P (proton) 表示素数集合