文档介绍：第5章 随机波动率 引言 BS模型和隐含波动率 波动率的一些特征事实 离散时间模型 连续时间模型
第6章 股票价格的波动率
引言
统计问题——非模型估计法
基于模型估计法
随机波动率与股票价格的波动率
引言
随机波动率（SV）模型产生于数理金融学和金融计量学。SV模型的几种变形来源于对不同问题的研究：Clark认为资产收益率是信息到达这一随机过程的函数，这种所谓的时间形变方法产生了资产收益率的时变波动率模型；Tauchen和Pitts提出了资产收益率与信息到达短暂相关的混合分布模型；Hull和White提出资产价格服从扩散过程，其波动率为正扩散过程等。
随机波动率与股票价格的波动率
瞬时波动率
随机波动率与股票价格的波动率
是一个标准布朗运动。标准布朗运动（维纳过程）定义如下：
设 代表一个小的时间间隔长度， 代表变量z在时间
内的变化，遵循标准布朗运动的具有两种特征：
特征1： 和 的关系满足（1）：
（1）
其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1的正态分布）中取的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔 , 的值相互独立
考察变量z在一段较长时间T中的变化情形，我们可得：
（2）
当 时，我们就可以得到极限的标准布朗运动：
（3）
随机波动率与股票价格的波动率
Black-Scholes模型
假设：
①股票价格遵循Ito（伊藤）过程；
②没有交易成本、税收和卖空限制，不存在无风险套利机会；
③标的资产在期权到期时间之前不支付股息和红利；
④市场交易是连续的，价格波动也是连续的；
⑤无风险利率 r 为常数，且对所有的到期日都相等。
随机波动率与股票价格的波动率
期权价格：
随机波动率与股票价格的波动率
随机波动率与股票价格的波动率
随机波动期权定价模型
由于B-S模型的一些假设在实际中并不成立，特别是假设波动为常数，因此Hull和White提出了随机波动下的期权定价公式，该模型假设：
Hull和White期权定价公式
随机波动率与股票价格的波动率
如果假定期权价格服从Hull-White公式，就会产生两类隐含波动：瞬时隐含波动和平均隐含波动。
假设风险中心概率分布属于一个参数族，产生一个函数表达式：
期权隐含波动模型首先由Latane和Rendlema在1976年提出。其基本原理是根据B-S期权定价公式从期权价格倒推出市场波动性。
由于期权价格反映的是市场未来的波动性， 因此应用该模型可以预测波动。
随机波动率与股票价格的波动率