文档介绍：1 Email: yc517922@ 数理方程与特殊函数任课教师:杨春数学科学学院 2本次课主要内容贝塞尔方程及贝塞尔函数(一)、贝塞尔方程的引入(二)、贝塞尔方程的求解与贝塞尔函数(三)、贝塞尔函数的母函数及积分表达式 3 例1、设有半径为 R的薄圆盘,其侧面绝缘,若圆盘边界上的温度恒保持为零度,且初始温度为已知。求圆盘内的瞬时温度分布规律???? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0,,0 t x y R u u u a x y R t x y u x y u ??? ??? ?? ??? ????? ?? ??? ??????????(一)、贝塞尔方程的引入定解问题为: 采用分离变量法求解 4 )(),(),,(tTyxVtyxu? 2 ( ) ( ) 0 (1) T t a T t ??? ??(1) 、时空变量分离令: 得: 2 2 2 2 0 (2) V V V x y ?? ?? ??? ??(2) 、空间变量分离对(2) ,采用极坐标并考虑边界条件得: 2 2 2 2 2 1 1 0, ( ) (3) 0 R V V V V R V ?? ?? ??????? ??? ?????? ???????5 )()(),(??????PV 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (5) P P P ? ????????? ?? ????令: 得: ( ) ( ) 0 (4) ? ????? ????(3) 、求固有值问题????( ) ( ) 0 2 ? ??? ????? ??????? ?????固有值为: 2 , ( 0,1, 2.....) n n n ?? ? 6 ),2,1(, sin cos )( )(2 )( 00???????nnbna a nnn????为常数 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (6) ( ) 0, (0) P P n P P R P ? ???????? ??? ?????? ??????固有函数为: 另一个固有值问题为: 为使该分离变量求解能进行下去,需要求解(6) 中常微分方程。在分离变量求解中常常遇到这种方程。再看一个例子: 7 例2、在圆柱内传播的电磁波问题。设沿 z方向均匀的电磁波在底半径为 1的圆柱域内传播,在侧面沿法向方向导数为零,从静止状态开始传播,初速为 1-ρ 2。求其传播规律(假设对极角θ对称,即园对称) 2 1 0 2 0 0 1 ( ), ( 0, 0 1) 0, 0, 1 tt t t t u a u u t u u u u ?? ?? ? ????? ?? ??? ???????? ?????? ?????定解问题为: (1) 、分离变量)()(tTRu?? 8 0)()( 2????tTatT? 2 2 0 R R R ? ????? ?? ?? 2 2 1 0 0 (7) 0, R R R R R ? ?? ???? ??? ??? ?????? ??????(2) 、求固有值问题(7) 中方程与(6) 中方程形式相同! 对(6) 中方程,作变换: 并记: ???r ( ) r F r P ?? ??? ?? ? 9 2