文档介绍：§ 绝对收敛级数和条件收敛级数的性质 1 定理 1对于级数,将它的所有正项保留而将负项换为 0,(乘上因子-1) 而将正项换为 0,也组成一个正项级数记为亦即那么(i)若级数绝对收敛,则级数和级数都收敛; (ii) 若级数条件收敛,则级数和级数都发散???1n nu???1n nv0,0 0,{2 ????? n nnnnnu uuuuv0,0 0,{2 ?????? n nnnnnu uuuuw ???1n nu???1n nv???1n nw ???1n nu???1n nv???1n nw 2 证明(i)若级数绝对收敛,由于按比较判别法,级数和级数都收敛. (ii) 若为条件收敛,用反证法证明定理的第二结论. 假设级数和级数中至少有一个是收敛的,不妨假设为收敛级数,那么,,所以得知级数绝对收敛,此与已知条件矛盾,因此证明了两个级数和都发散. ???1n nu,0,0 nnnnuwuv???????1n nv???1n nw ???1n nu???1n nv???1n nw???1n nv nnnuvw?????1n nw nnnwvu????????????? 111n nn nn nwvu ???1n nu???1n nv???1n nw 3 定理 2绝对收敛级数的更序级数仍为绝对收敛,且其和相同, ???1n nu???1 'n nu??????? 1 '1n nn nuu 4 证明(i)我们先证明当为收敛的正项级数的情形. ,取大于所有下标后,显然有又由于正项级数,于是对一切成立按照正项级数收敛的基本定理,更序级数亦收敛, 设其和为,故有,另一方面级数也可视为级数的更序级数故又有,得知???1 'n nu???1 'n nu 'kS,,,, ''2 '1 21knknnuuuuuu???? n knnn,,, 21?. 321 ''2 '1 'nnkkSuuuuuuuS????????????Su n n????1, 'SS k?k???1 'n nu,SS??'S, 'SS????1 'n nu ???1n nu, 'SS? 5 (ii) 再来证明为任意绝对收敛级数的情形. 1知道,这两个级数都收敛,设它们的和分别是和,则有由(i)中的结论知道, 的更序级数成立着这就表明了更序级数是绝对收敛的. (i)的结论知道???1n nu???1n nv???1n nw ???1n nuVW., 11WVuWVu n n n n?????????????1n nu???1 'n nu, 1 'WVu n n????????1 'n nu???1 'n nv???1 'n nw???1n nv???1n nw,, 11 '11 ' nn nn n???????????????? 6 而,所以这样就证明了定理. nnnwvu '''????. 1 1 ''1 '?????????????? n n n nnn nuWVwvu 7 注意: 这个定理对条件收敛级数而言,却不一定成立,例如莱布尼兹型级数??????5 14 13 12 11 8 定理 3(柯西定理) 若级数和都绝对收敛, 其和分别为和,则它们各项之积按照任何方法排列所构成的级数绝对收敛,且其和为. (证明略) ???1n nu???1n nvU V???,3,2,1,?kivu ii UV9 例如:级数 q qqqq n????????1 1 1 32??绝对收敛,将其自乘得到什么结果 10