文档介绍：椭圆与方程
【知识梳理】
1、椭圆定义
平面内，到两定点、距离之和为定长点轨迹称为椭圆，其中两定点、称为椭圆焦点，定长称为椭圆长轴长，.
2、椭圆简朴性质
原则方程
顶点坐标
、
、
焦点坐标
左焦点，右焦点
上焦点，下焦点
长轴与短轴
长轴长、短轴长
长轴长、短轴长
有界性
，
，，
对称性
关于轴对称，关于轴对称，同步也关于原点对称.
之间关系
3、焦半径
椭圆上任意一点到椭圆焦点距离称为焦半径，且，特别地，若为椭圆上任意一点，，为椭圆左右焦点，则，，其中.
4、通径
过椭圆焦点作垂直于长轴直线，交椭圆于、两点，称线段为椭圆通径，且.
5、焦点三角形
为椭圆上任意一点，，为椭圆左右焦点，称为椭圆焦点三角形，其周长为：，若，则焦点三角形面积为：.
6、过焦点三角形
直线过椭圆左焦点，与椭圆交于、两点，称为椭圆过焦点三角形，其周长为：，面积为.
7、点与椭圆位置关系
为平面内任意一点，椭圆方程为：若，则在椭圆上；若，则在椭圆外；若，则在椭圆内.
8、直线与椭圆位置关系
直线，椭圆：，则
与相交；
与相切；
与相离.
9、焦点三角形外角平分线性质（*）
点是椭圆上动点，是椭圆焦点，是外角平分线上一点，且，则，即动点点轨迹为.
10、椭圆上任意两点坐标性质
为椭圆上任意两点，且，则.
【推广1】直线过椭圆中心，与椭圆交于两点，为椭圆上任意一点，则（均存在）.
【推广2】设直线交椭圆于两点，交直线于点．若为中点，则.
11、中点弦斜率
为椭圆内一点，直线过与椭圆交于两点，且，则直线斜率.
12、互相垂直半径倒数平方和为定值
若、为椭圆：上两个动点，为坐标原点，且．则定值．
【典型例题】
例1、直线与椭圆恒有公共点，则取值范畴是__________．
【变式1】已知方程表达椭圆，则取值范畴__________．
【变式2】椭圆两个焦点坐标分别为__________．
例2、已知圆，圆内一定点，圆过点且与圆内切，求圆心轨迹方程.
【变式1】已知圆，圆,动圆分别与圆相外切，.
【变式2】已知两个顶点坐标为，周长为18，则顶点轨迹方程为__________．
【变式3】已知动圆过定点，且在定圆内部与其相内切，求动圆圆心轨迹方程．
例3、若是椭圆上点，和是焦点，则
（1）取值范畴为__________．
（2）取值范畴为__________．
（3）取值范畴为__________．
【变式1】点是椭圆上一点，是椭圆焦点，是中点，且，为坐标原点，则_______.
【变式2】点是椭圆上动点，是椭圆焦点，是外角平分线上一点，且，则动点轨迹方程为________．
例4、已知椭圆内有一点，为椭圆左焦点，是椭圆上动点，求最大值与最小值__________．
【变式】若椭圆左、右两个焦点分别为、，过点直线与椭圆相交于、两点，则周长为__________．
例5、是椭圆焦点，点为其上动点，且，则面积是__________．
【变式】焦点在轴上椭圆方程为，、是椭圆两个焦点，若椭圆上存在点，使得，那么实数取值范畴是________.
例6、已知椭圆，
（1）求过点且被平分弦所在直线方程；
（2）求斜率为平行弦中点轨迹方程；
（3）过引椭圆割线，求截得弦中点轨迹方程.
（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，
求线段中点轨迹方程．
例7、已知椭圆，试拟定取值范畴，使得对于直线，椭圆上有不同两点关于该直线对称．
例8、已知椭圆及直线．
（1）当为什么值时，直线与椭圆有公共点？
（2）若直线被椭圆截得弦长为，求直线方程．
例9、已知定点，动点是圆（为圆心）上一点，线段垂直平分线交于.
（1）求动点轨迹方程；
（2）直线交点轨迹于两点，若点轨迹上存在点，使求实数值；
例10、已知椭圆（），过点，直线倾斜角为，原点到该直线距离为．
（1）求椭圆方程；
（2）斜率不不大于零直线过与椭圆交于，两点，若，求直线方程；
（3）与否存在实数，直线交椭圆于，两点，觉得直径圆过点？若存在，求出值；若不存在，请阐明理由．