复化梯形公式和复化Simpson公式.docx

文档介绍：集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-19882）
复化梯形公式和复化Simpson公式
数值计算方法上机题目3
一、计算定积分的近似值：
要求：
若用复化梯形公式和复化Simpson公式计算，要求误差限，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；
分别利用复化梯形公式和复化Simpson公式计算定积分；
将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。

程序：
程序1（求f（x）的n阶导数：
symsx
f=x*exp(x)%定义函数f（x）
n=input('输入所求导数阶数:')
f2=diff(f,x,n)%求f(x)的n阶导数
结果1
输入n=2
f2=
2*exp(x)+x*exp(x)
程序2：
clc
clear
symsx%定义自变量x
f=inline('x*exp(x)','x')%定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可
f2=inline('(2*exp(x)+x*exp(x))','x')%定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。
f3='-(2*exp(x)+x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值
e=5*10^(-8)%精度要求值
a=1%积分下限
b=2%积分上限
x1=fminbnd(f3,1,2)%求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值
forn=2:1000000%求等分数n
Rn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1)%计算余项
ifabs(Rn)<e%用余项进行判断
break%符合要求时结束
end
end
h=(b-a)/n%求h
Tn1=0
fork=1:n-1%求连加和
xk=a+k*h
Tn1=Tn1+f(xk)
end
Tn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))
z=exp(2)
R=Tn-z%求已知值与计算值的差
fprintf('用复化梯形算法计算的结果Tn=')
disp(Tn)
fprintf('等分数n=')
disp(n)%输出等分数
fprintf('已知值与计算值的误差R=')
disp(R)
输出结果显示：
用复化梯形算法计算的结果Tn=
等分数n=7019
已知值与计算值的误差R=-008

程序：
程序1：（求f（x）的n阶导数）：
symsx
f=x*exp(x)%定义函数f（x）
n=input('输入所求导数阶数:')
f2=diff(f,x,n)%求f(x)的n阶导数
结果1
输入n=4
f2=
4*exp(x)+x*exp(x)
程序2：
clc
clear
symsx%定义自变量x
f=inline('x*exp(x)','x')%定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可
f2=inline('(4*exp(x)+x*exp(x))','x')%定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可
f3='-(4*exp(x)+x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值
e=5*10^(-8)%精度要求值
a=1%积分下限
b=2%积分上限
x1=fminbnd(f3,1,2)%求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值
forn=2:1000000%求等分数n
Rn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1)%计算余项
ifabs(Rn)<e%用余项进行判断
break%符合要求时结束
end
end
h=(b-a)/n%求h
Sn1=0
Sn2=0
fork=0:n-1%求两组连加和
xk=a+k*h
xk1=xk+h/2
Sn1=Sn1+f(xk1)
Sn2=Sn2+f(xk)
end
Sn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b))%因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)
z=exp(2)
R=Sn-z%求已知值与计算值的差
fprintf('用Simpson公式计算的结果Sn=')
disp(Sn)
fprintf('等分数n=')
disp(n)
fprintf('已知值与计算值的误差R=')
disp(R)
输出结果显示：
用Simpson公式