文档介绍：试卷B答案
土学期
二、填空
A 5、
课程:
复变函数
1、
2、
3、£〃(z + l)"T (|z + l|<D
n=l
4、0
5、m
（3分）
（8分）（10 分）
（2分）（4分）
（10 分）
三、已知/"（々）=归3，证明Um /（z）不存在 z 5
解： 设 z = x + (y, 贝I] y(z)= = —y—
z x + iy
令z沿直线y = kx趋于0,则
V kx K
lim/（z） = = Um =
zto *to x + iy x + ikx 1 + ik
该值会随着化的变化而变化，所以极限不存在
四、沿指定曲线的正向计算下列积分值（16分）
・n
sin — z ]
⑴贮苫&5+七
・n
sin — z [
解：设/'（z）=l」，则/Xz）在c；|z + l| = -
内只有一个奇点Z = -1 z -1 2
设C\ :|z + l| = r（r ＜；）是包含z = -l的正向圆周
根据柯西积分定理的推广及则柯西积分公式得：
（8分）
(2)巾 5Z-2 出=2 (8 分)
%(Z-叶 1 1
5> — 2
解：函数/(z)= 在|z| = 2内有一级极点z = 0，二级极点z = l，
z(z-l) 1 1
由留数定理知 j| |_2 =2ra{JRes[/(z),0] + JRes[/(z),l]} (2 分)
而 Res[/(z),O] = limz 5」:=lim ： = -2 z(z-l) 5(z-1)
Re s[f(z),l\ = lim— (z —一J =lim^ = 2 (6 分)
fdz z(z —1) Liz
s-_ 2
故,=2^37=2叫&es[/(z),0] + /?es[_/(z),l]}=2m—2 + 2)=0 (8 分)
五、已知w(x,j) = (x-j)(x2+4xj + j2),求满足/(0) = 0的解析函数
/(z) = u + iv. (12 分)
解：
> 祭=3(xz 4- 2iy — y), ™ = 3<x2 — 2xy — yz)
8x 3y (2 分)
因为r(z) = R + 3为解析函数，故满足C-R方程。
由兴=碧=3愆’ + 2xy 一寸)，得
v = 史 + 2xy — _/)d_y + 牧了)
(5分)(6分)
=3 ( 4- xy2 —专)+ 夜工)
t
a p
方=6c)+ 3y2 +。包)
由 — 3(# — 2xy — 得
6工源 + 3,z +。(x) = 6xjf + 3>2 一 3xz 故 衣工)=j — 3工叼1 = — 丁 +
因此 u = 3 ( xzy + xy2 —