特岗教师招聘资料2一元函数积分学.doc

文档介绍：第二部一元函数积分学
第1章不定积分
。
这里要解决下面几个问题:
(1)什么是原函数?
若函数的导数等于,即,则称函数是的原函数。
(2)原函数不是唯一的。
由于常数的导数是0,故都是的原函数(其中是任意常数)。
(3)什么是不定积分?
原函数的全体(其中是任意常数)称为的不定积分,记为=。
(4)知道不定积分与导数(微分)之间的关系。
不定积分与导数(微分)之间互为逆运算,即先积分,再求导,等于它本身;先求导,再积分,等于函数加上一个任意常数,即
=,=,
,
例1 在某区间上,如果F(x)是f(x)的一个原函数,c为任意常数,则下式成立的是( )。
A. B.
C. D.
解如果F(x)是f(x)的一个原函数,则F(x)+c都是f(x)的原函数,故有,即正确的选项是C。
例2 如果,则f(x)=( )
A. 2sin2x B. -2cos2x C. -2sin2x D. 2cos2x
解根据不定积分的性质可知
f(x)=
正确的选项是D。
例3 设是函数的一个原函数,则=( )。
A. B.
C. D.
解因为是函数的一个原函数,即有=,故
=
=
故正确的选项C。
例4 设的一个原函数是,则( )。
A. B. C. D.
解因为的一个原函数是,故
(=
故正确的选项B。
例5 设函数, 则=( )。
A. x2+c B. C. D.
解因为,故,于是
=
故正确的选项B。
例6 已知=sinx+c,则f(x)=( )
A. B. xsinx C. D. xcosx
解对=sinx+c两端求导,得

故f(x)=,正确的选项是C。
。
常用的积分方法有
(1)运用积分基本公式直接进行积分;
(2)第一换元积分法(凑微分法);
(3)分部积分法,主要掌握被积函数是以下类型的不定积分:
①幂函数与指数函数相乘;
②幂函数与对数函数相乘;
③幂函数与正(余)弦函数相乘;
例7.( )。
A. B. C. D.
解两种方法,其一是凑微分直接计算:
其二是求导计算:四个备选答案中都含有项,对它求导

与被积函数比较可知,是的原函数。
正确的选项是B。
例8 计算下列积分
(1) (2)
(3) (4)
解(1) =
=
(2)因为
所以=
(3) 设,利用分部积分公式,



(4)设,利用分部积分公式,
=
=
第2章定积分
,知道奇偶函数在对称区间上的积分结果.
要区别不定积分与定积分之间的关系。定积分的结果是一个数,而不定积分的结果是一个表达式。
奇偶函数在对称区间上的积分有以下结果:
若是奇函数,则有
若是偶函数,则有
例1 若是的一个原函数,则下列等式成立的是( ).
A. B.
C. D.
解由牛顿¾¾莱布尼兹公式可知,正确的选项是B。

例2 已知,那么常数a=( )。

解因为
故,即正确的选项是A。
例3 =( )。
A. -ln(x2+1) B. ln(x2+1) C. ln(x2+1)