文档介绍：二阶倒立摆的控制
指导老师：屈桢深
问题描述
小车质量，摆杆1质量，摆杆长度；摆杆2质量，摆杆长度。
要求：设计NN控制器，满足指标要求：正弦信号幅值裕度＜10%, 相角裕度＜15度。同时系统具备抗噪声和干扰性，控制输入合理步骤：1阶倒立摆-＞2阶倒立摆。
一阶倒立摆建模
小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。小车在轨道上可以自由滑动。
单级倒立摆系统数学模型
N和P分别为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。分析小车水平方向所受的合力，可得到方程为：
Mx F bx N
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
N mJ x l sin dt2
2 .
N mx ml cos ml sin
把这个等式代入式中，得到系统的第一个运动方程:
2 ・ L
M m x bx ml cos ml sin F
为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向的合力进
行分析，得到下面的方程:
P mg
m^； l cos
dt2
P mg ml
sin ml 2 cos
力矩平衡方程如下:
Plsin
Nlcos I
方程中力矩的方向，cos
cos ,sin sin ,故等
式前面有负号。合并这两个方程，约去 P和N,得到第二个运动方
程:
2
I ml mgl sin
mlxcos
假设与1 （单位是弧度）相比很小，即 1,则可进行近
似处理:
cos
1,sin
J2 0
dt
用U代表被控对象的输入力,
线性化后两个运动方程如下:
I ml2
mgl mlx
I ml2 (s) s2
M m X(s)s2
bx ml u
对方程（7）进行拉普拉斯变换，得到:
mgl (s) mlX(s)s2 bX(s)s ml (s)s2 U (s)
为:
推导时假设初始条件为
0则摆杆角度和小车位移的传递函数
(s)
X(s)
mls2
(I ml2)s2 mgl
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为:
(s)
ml
A(s) I ml2 s2 mgl
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:
(s)
ml 2
-s
q
2、
F (s) 4 b(I ml ) 3 (M m)mgl 2 bmgl
s s s s
q q
2 2 2
q (M m)(I ml ) ml
以外界作用力作为输入的系统状态空间表达式为:
& & & &
0 1
0 (I ml2)b 0 2
I(M m) Mml2 0 0
- mlb
0 2
I(M m) Mml2 0
I ml2
I(M m) Mml2
0
ml
I(M m) Mml2
0
一 2 2
m gl
2
I(M m) Mml2
0
mgl(M m)
2
I(M m) Mml2
0
0
1
0
x
1 0 0 0 ・ 0
u
0 0 10 0
&
以小车加速度作为输入的系统系统状态空间表达式:
0 0 3g 0 & —
4l 4l
10 0 0
0 0 10
2系统的可控性、可观测性分析
对于连续时间系统:
X AX Bu
y CX Du
系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组B , AB ,..., A n 1
是线性无关的，或nXn维矩阵B AB An 1B的秩为no
系统的输出可控条件为：当且仅当矩阵
CB CAB CA 2 B CA n 1B D 的秩等于输出向量y的维数。
应用以上原理对输入为加速度输出为摆杆与竖直方向的角度的夹角时的系统进行可控性分析即可。
二阶倒立摆建模
在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车、匀质杆的系统，如图所示。
图1直线两级倒立摆物理模型
下面利用拉格朗日方程推导运动学方程。
拉格朗日方程为：
L q,& T q,& V q,&
d L L .
dt隼 q
T Tm
T1
Tm2
Tm3
Tml
Tml
T2
Tm2
1
Tm1 一 m1
2
2 2
d x l1sin 1 d 11 sin 1
dt dt
」mX2 mJ1*&cos 1 1 mJ；罩 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 2