文档介绍：铅球投掷模型
作者:
日期：
西北农林科技大学实验报告
学院名称：理学院？ ？?？专业年级：2 0 11级信计1班
姓 名:？??？ 学 号：201 1014 8 1 6
课 程：数学模型与数学建模 ?艮告日期:201 3年11月7日
1实验题目：铅球投掷模型
2实验问题陈述：众所周知，铅球运动是指运动员单手托住铅球在投 掷圆内将铅球掷出并且使千秋在有效区域中，以铅球的落地点与投掷 圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动 员的成绩。在铅球的训练和比赛中，铅球投掷的距离的远近使人们最 关心的问题，而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球投掷 得最远？由普通的投掷常识我们知道，在投掷铅球的过程中，有两个 重要的因素：投掷角和初速度。对于教练来说，平时的训练中，应更 注意哪方面的训练呢？
3实验目的：建立模型进行分析如何能使铅球投掷的最远， 在投掷角
和初速度两个重要因素上运动员在训练时应该更加注重哪一项的训
练。选择一个最优的方法使得训练更加具有针对性，使运动员提高起 来更加容易。
4实验内容
抛射模型：在这个模型中，我们不考虑投掷者在投掷圆内用力阶段的 力学过程，只考虑前球脱手使得初速度和投掷的角度对铅球投掷远度 的影响。为此，我们不妨把铅球视为一个抛射体，关于它的运动可以 在如下三个家设置下来分析。
⑴铅球被看成是一个质点，其初速度为 V,运动轨迹如图一。
⑵铅球运动中忽略空气的阻力。
⑶投掷角 和初速度V是相互独立的，并且衡量成绩的远度记为
S。
⑷运动员具有身高ho
以铅球出手点的铅垂方向为y轴（向上为正），以y轴与
地面的交点到铅球落地点方向为 x轴构成平面直角坐标系。在此坐标 系内考虑铅球的运动，由物理学的知识可以得到铅球运动方程 ：
x v cos t
. 2
y v sin t h — gt
0, — , g /秒，
2
2
解这个方程，得 y f x 2 2gx 2 tan x h
2v cos
①
图中显示铅球落在地面 A点，此时的远度是s,也即轨迹与x轴 相交于点（s,0 ）处。代入①解出s ,
2 2 . 2
得 s v sin 2 2vcos v sin 2gh
寸 s 2g
②
这个公式中已经体现了初速度、投掷角度和远度之间的简单关
系。也指明了铅球投掷的远度是如何依赖于前两者的。 这就是我们需
要的铅球投掷模型I ——投射模型。
模型I I ——投掷模型
在实际中我们从奥运会的女子铅球比赛中获得这样一组数据
h
V
s
实际成
绩
3
1
3 .75 m/s
2
8 m
m
2. 0 0
m
3 9 .69
”
s
2
m
2
可以看到第二组数据h与 都提高了，但V与s却降低了。也就是
说随着 的提高，即使是更接近于最佳出手角度，成绩反而降低了，主 要原因在于v降低了，因此我们可以得出结论，与v之间一定有某种 关系。
因此模型I中假设3是不恰当的。
实际上模型I只是刻画了铅球出手时与出手后的情形， 而要刻画
出手速度与出手角度之间的依赖关系，我们必须对铅球出手前的运动
情况进行研究。也就是分析在投掷圆中的运动过程。 我们将投掷过程 大致分为滑步和用力阶段。
假设：
⑴滑步运动为水平运动，铅球随人的身体产生一个水平的初速度
vo。
⑵在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间 记为0到t0。
⑶在运动员用力的时间内，运动员作用在铅球上的推力大小 F是
不变的，力的方向与铅球的出手角度
相同
现在用这三个假设代替模型I的假设⑶，运动轨迹如图二，进 步建立模型II ——投掷模型。
记xt ,yt为开始用力后铅球运动轨迹的水平和铅垂方向坐标， 则 根据牛顿第二定律。
mx t F cos
my t F sin mg
m为铅球质量，F是推力， 为力的方向（出手角度）。根据整个
运动方式，我们知道t 0时开始用力，t b时铅球出手。于是可将③
在0人上积分得
mx t Ft0 cos C1
my t Ft0 sin mgt0 C2
Ci,C2分别是t 0时铅球的水平与垂直的初速度。由假设⑴知
Ci V0,C2 0 ,代入上式：
mx t Ft0 cos v0
my t Ft0 sin mgt0
上式表明了在F作用下，铅球在水平与垂直方向上的运动速度, 可由此得到合速度v,可以看到它是一个与 有关系的量。
2
12 + 2 F 2 2F . 2 2 2F +
v <