文档介绍：矩形草坪上无缝喷灌系统的设计
摘要
这个问题的本质就是用一系列（相同半径或不同半径）的圆形来覆
盖一个平面区域 . 题中给的 50 × 28 的草坪就是这个待覆盖的矩形区域 , 而
浇灌半径为1 米、2 米、5 米的喷头实际上可以等效为半径为1、2、5 的圆
形 .
第一问是要求我们只使用半径为1 米的圆形来覆盖这个矩形区域 , 求最
少需要多少个圆 . 用于圆形不是多边形 , 所以无法在平面上进行平铺 , 这就
导致了如果让圆形两两相切的话在圆与圆之间会留有空隙 . 为满足“任意
点都能被浇到”这一条件 , 就需要圆形相接 . 相接的圆形的交点可以连成
多边形 , 而这个多边形恰恰就是有效面积 . 从圆的内接多边形在平面上平
铺来考虑 , 可以发现有效面积是正六边形的时候浪费最少 . 在这种情况下
再用矩形去截 , 从而找到使用喷头数目最少的方案 . 经过讨论 , 我们得出的
结论是最少需要使用喷头560 个 , 具体方案在模型的建立与分析中给出 .
第二问脱离了矩形区域的限制 , 但还是使用同一种半径的圆形 , 求在覆
盖区域内可以截取的最大矩形 . 这个问题的难点在于怎么排列可以截取出
矩形而浪费的最少 . 我们依然用第一问的方法考虑 , 正方形的平铺可以正
好组成矩形 , 而正六边形的平铺可以做到面积最大 , 所以我们只考虑这两种
图形的平铺问题 . 用正方形的话 , 半径为1 的喷头可以浇灌的最大矩形而使
用六边形的话由于不同的排列方式可以覆盖的最大矩形面积还不同 , 较难
以写出一个确定的式子 , 所以我们写出一个程序来找出最大值 . 最后发现 (
以半径为 1 为例 ) n小于 10 和 n 等于 11 的时候正方形的排法最大 , 即最大
面积为 2n ； n 等于其他值时六边形排法的面积最大 , 具体值可以由程序求
出 . 对于半径为 2 和 5 的喷头 , 其规律与半径为 1 的相同 , 只是面积扩大了
4 倍、 25 倍 .
第三问给出了两个约束条件 , 无法同时满足 , 按照我们对题目要求的理
解 , 应优先满足使用喷头数目最少这个条件 , 然后在这个基础之上再来调整
使得浪费最少 . 应尽量使用浇灌半径大的喷头 , 所以先用半径为 5 的圆形进
行讨论 , 空缺的地方再用其他两种来补全 . 最终我们找到得方案是使用浇灌
半径为 5 的喷头 26 个 , 使用浇灌半径为 1 的喷头 4 个 , 共使用喷头 30 个 .
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1 问题重述
有一块长宽分别为50 米以及28 米的矩形草坪区域 , 要在其内部设立若
干个喷头用来自动浇灌这块草坪 . 现有浇灌半径分别为1 米 , 2米和5 米三种
规格的喷头可供使用 . 要求草坪中的任一点都能被浇灌到 .
1. 若所有的喷头都使用浇灌半径为 1 米的喷头 , 至少需要在草坪上设多