高等数学讲义长期班汪诚义第八章.pdf

文档介绍：心之所向，所向披靡
第八章 无穷级数（数学一和数学三）
引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个
无穷级数问题引起争论。例如：
1 1 1 1 ( 1) n 1
历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和”
第一种 (1 1) (1 1) (1 1) 0
第二种 1 (1 1) (1 1) (1 1) 1
n 1
第三种 设 1 1 1 1 ( 1) S
则 1 1 1 1 1 S
1
1 S S, 2S 1, S
2
这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。
1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？
2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？
3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概
念和性质需要作详细的讨论。
§ 常数项级数
（甲） 内容要点
一、基本概念与性质
1. 基本概念
无穷多个数 u1, u2 , u3 , , un , 依次相加所得到的表达式 un u1 u 2 u3 un 称
n 1
为数项级数（简称级数） 。
n
Sn uk u1 u 2 u3 L un （ n 1,2,3, ） 称 为 级 数 的 前 n 项 的 部 分 和 ，
k 1
Sn (n 1,2,3, ) 称为部分和数列。
若 lim Sn (存在 ) S，则称级数 un 是收敛的 ，且其和为 S，记以 un S
n
n 1 n 1
若 lim Sn 不存在，则称级数 un 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下
n
n 1
可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。 ）
2． 基本性质
（ 1） 如果
un和 vn皆收敛 ，,b为常数 ，则 (aun bvn )收敛 ，且等于 a un b vn
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
（ 2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。
（ 3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不
变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数
的情形就不同。
（ 4） 级数 un收敛的必要条件是 lim un 0
n
n 1
n 1 n 1
（注：引言中提到的级数 ( 1) , 具有 lim 1 不存在 ，因此收敛级数的必要条件不满