文档介绍：专题七选讲部分
几何证明选讲
【背一背重点知识】
1、比例线段有关定理
〔1〕平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直
线上截得的线段也相等。
推理 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
推理 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。
〔2〕平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕所得的对应线段成比例。
2、相似三角形的判定及性质
〔1〕相似三角形的判定：
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比
值叫做相似比〔或相似系数〕。
判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应
相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。
判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比
例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角
形相似。
判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应
成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。
〔2〕相似三角形的性质：
性质 1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；
性质 :2：相似三角形周长的比等于相似比；
性质 3：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
注：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。
3、直角三角形的射影定理
1
射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是
它们在斜边上射影与斜边的比例中项。
4、圆周角定理
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
推论 2：半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
5、圆内接四边形的性质与判定定理
定理 1：圆的内接四边形的对角互补。
定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。
6、圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
7、弦切角的性质
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
8、与圆有关的比例线段〔圆幂定理〕
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积
相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长
的比例中项。
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分
两条切线的夹角。
【讲一讲提高技能】
1、相似三角形的判定与性质的应用
〔1〕判定两个三角形相似的方法：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角
2
相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的定义．
〔2〕证明线段成比例，假设已经知道条件中没有平行线，但有三角形相似的条件 (如角相等，有相
等的比例式等 )，常考虑相似三角形的性质构造比例式或利用中间比求解．
(3)
相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素，如两个三角形的高、
周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等．
例 1如图 3，在平行四边形 ABCD中，点 E在 AB上且 EB 2AE， AC与 DE交于点 F，
CDF的面积
那么
.
AEF的面积
D
C
F
A
B
E
图3
分析：根据 ABCD为平行四边形，得到
AB//CD，即可得到
CDF , AEF相似 .
【解析】
2、四点共圆的证明方法
〔1〕求证四边形的一个外角等于与它不相邻的内角；
〔2〕当它们在一条线段同侧时，可
证它们对此线段