文档介绍：线性代数知识点总结(免费)
1、行列式
行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；
代数余子式的性质：
①、和的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；
代数余子式和余子式的关系：
设行列式：
将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；
将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；
将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；
将主副角线翻转后，所得行列式为，则；
行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积；
②、副对角行列式：副对角元素的乘积；
③、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；
④、和：副对角元素的乘积；
⑤、拉普拉斯展开式：、
⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值；
对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；
证明的方法：
①、；
②、反证法；
③、构造齐次方程组，证明其有非零解；
④、利用秩，证明；
⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
是阶可逆矩阵：
（是非奇异矩阵）；
（是满秩矩阵）
的行（列）向量组线性无关；
齐次方程组有非零解；
，总有唯一解；
与等价；
可表示成若干个初等矩阵的乘积；
的特征值全不为0；
是正定矩阵；
的行（列）向量组是的一组基；
是中某两组基的过渡矩阵；
对于阶矩阵：无条件恒成立；
矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：
若，则：
Ⅰ、；
Ⅱ、；
②、；（主对角分块）
③、；（副对角分块）
④、；（拉普拉斯）
⑤、；（拉普拉斯）
3、矩阵的初等变换与线性方程组
一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；
等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵、，若；
行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
若，则可逆，且；
②、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；
③、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；
初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
②、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素；
③、对调两行或两列，符号，且，例如：；
④、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；
⑤、倍加某行或某列，符号,且，如：；
矩阵秩的基本性质：
①、；
②、；
③、若，则；
④、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）
⑤、；（※）
⑥、；（※）
⑦、；（※）
⑧、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（※）
Ⅰ、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、
⑨、若、均为阶方阵，则；
三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
②、型如的矩阵：利用二项展开式；
二项展开式：；
注