文档介绍：第十三次课?了解相似矩阵的概念和性质?了解矩阵对角化的充要条件和对角化的方法?会求实对称矩阵的相似对角形矩阵教学内容教学内容教学目标及基本要求教学目标及基本要求§ 相似矩阵与方阵的对角化§ 实对称矩阵的对角化?实对称矩阵的相似对角化重点重点难点难点?矩阵的相似对角化 2017 年2月 13 日星期一 2 § 相似矩阵与方阵的对角化一、相似矩阵及其性质一、相似矩阵及其性质注: 相似一定等价,但等价不一定相似(1) :反身性: ~ A A ?? 1 E AE A ??(2) :对称性: (3) :传递性: ~ ~ A B B A ??? 1 1 1 ( ) ( ) P B P A ? ? ??~ , ~ ~ A B B C A C ?(P143 定义 ) 2017 年2月 13 日星期一 3 性质 1:~ A B A B ? ?????, R A R B ?性质 2: 性质 3: 性质 4: 性质 5: ~ ~ , ~ , m m T T A B kA kB A B A B ?(m为正整数) 为多项式( ) f t , ~ ( ) ~ ( ) A B f A f B ?~ A B A E B E ? ?? ??? A与B的特征值相同? 2017 年2月 13 日星期一 4 二、方阵的相似对角化二、方阵的相似对角化(P144 定理 ) (P146 推论 ) (P148 定理 ) 2017 年2月 13 日星期一 5 A相似对角化的步骤 Step1 : Step2 : Step3 :判断能否相似对角化若能,取?? 1 2 , , , nP ? ? ???,则有 121n P AP ?????? ?? ?? ????? ?????需注意 i?与的 i?对应关系 2017 年2月 13 日星期一 6 4、若 11 m m A P P P AP ??????? 2017 年2月 13 日星期一 7 例1 例1 2017 年2月 13 日星期一 8 解解 1 2 2 2 1 2 2 2 1 A E ?? ???? ? ?????? 2 1 5 ? ?? ?? ? 0? 1 2 3 1, 5 ? ? ?? ????为A的特征值当 1 2 1 ? ??? ???时?? 0 A E X ? ??特征向量为: 1 2 1 1 1 , 0 0 1 ? ?? ?? ? ??? ? ??? ?? ? ??? ? ??? ? ?? 2017 年2月 13 日星期一 9 当35 ? ?? ?时?? 5 0 A E X ? ? ?特征向量为: 3111 ?? ?? ??? ?? ?? ?因有 3个线性无关的特征向量 A?能相似对角化取可逆矩阵?? 1 2 3 , , P ? ??? 1 1 1 1 0 1 0 1 1 ? ?? ?? ??? ?? ?? ?则有 1 P AP ??? 115 ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? 2017 年2月 13 日星期一 10 例2 例2 (P146 )