文档介绍：第五章 微分方程模型
传染病模型
经济增长模型
正规战与游击战
药物在体内的分布与排除
香烟过滤嘴的作用
人口预测和控制
烟雾的扩散与消失
万有引力定律的发现
■用Matlab解微分方程
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微分方程建模
3. 运用这些规律列出方程和定解条件。
HOW？
（i）按规律直接列方程 —— 在数学、力学、物理、化学等学科中许多自然现象所满足的规律已为人们所熟悉，并直接由微分方程所描述。
（ii）微元分析法与任意区域上取积分的方法——自然界中也有许多现象所满足的规律是通过变量的微元之间的关系式来表达的。可是通过微元分析法，利用已知的规律建立一些变量（自变量与未知函数）的微元之间的关系式，然后再通过取极限的方法得到微分方程，或等价地通过任意区域上取积分的方法来建立微分方程。
（iii）模拟近似法——在生物、经济等学科中，许多现象所满足的规律并不很清楚而且相当复杂，因而需要根据实际资料或大量的实验数据，提出各种假设。在一定的假设下，给出实际现象所满足的规律，然后利用适当的数学方法列出微分方程。
采用如下一种或多种方法进行微分方程建模：
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传染病模型
问题
描述传染病的传播过程
分析受感染人数的变化规律
预报传染病高潮到来的时刻
预防传染病蔓延的手段
按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
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已感染人数 (病人) i(t)
每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为
模型1
假设
若有效接触的是病人，则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
建模
?
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模型2
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
假设
1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为
2）每个病人每天有效接触人数为, 且使接触的健康人致病
建模
~ 日接触率
SI 模型
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模型2
1/2
tm
i
i0
1
0
t
tm~传染病高潮到来时刻
(日接触率) tm
Logistic 模型
病人可以治愈！
?
t=tm, di/dt 最大
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模型3
传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染
增加假设
SIS 模型
3）病人每天治愈的比例为
~日治愈率
建模
~ 日接触率
1/ ~感染期
~ 一个感染期内每个病人的有效 接触人数，称为接触数。
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模型3
i0
i0
接触数 =1 ~ 阈值
感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数
1-1/
i0
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
i
di/dt
0
1
>1
0
t
i
>1
1-1/
i
0
t
1
di/dt < 0
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模型4
传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
假设
1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为
2）病人的日接触率 , 日治愈率,
接触数 = /
建模
需建立 的两个方程
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