文档介绍：圆的标准方程新疆奎屯市一中王新敞求曲线方程的一般步骤: (1)建立适当的坐标系,用( x,y )表示曲线上任意一点 M的坐标(2)写出适合条件 P的点 M的集合 P={M | p(M )}; (3) 用坐标表示条件 p(M ),列出方程 f(x,y )=0 (4) 化方程 f(x,y )=0 为最简形式(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。建系、设点条件立式代换化简方程查缺补漏求:圆心是 C(a,b) ,半径是 r的圆的方程 x C M rO y说明: 1、特点: 明确给出了圆心坐标和半径。 2、确定圆的方程必须具备三个独立条件。设 M(x,y) 是圆上任意一点, 根据定义,点 M到圆心 C的距离等于 r,所以圆 C就是集合 P={M| |MC|=r} 由两点间的距离公式,点 M适合的条件可表示为: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 2 (x-3) 2 +(y-4) 2 =5 练****1、写出下列各圆的方程: (1) 圆心在点 C(3, 4 ) ,半径是(2) 经过点 P(5,1), 圆心在点 C(8,-3) 5 (x-8) 2 +(y+3) 2 =25 补充练****写出下列各圆的圆心坐标和半径: (1) (x-1) 2 +y 2 =6 (2) (x+1) 2 +(y-2) 2 =9 (3)(x+a) 2 +y 2 =a 2 (1,0) 6 (-1,2) 3 (-a,0) |a| 例1:求以 C(1,3)为圆心,并且和直线 3x-4y-7=0 相切的圆的方程。 C yxO M 解:设所求圆的方程为: (x-1) 2+(y-3) 2=r 2因为圆 C和直线 3x-4y-7=0 相切所以圆心 C到这条直线的距离等于半径 r根据点到直线的距离公式,得| 3×1— 4×3 — 7 | 3 2 +(-4) 2=5 16 r = 因此,所求圆的方程是(x-1) 2 +(y-3) 2=25 256 练****2: 已知一个圆的圆心在原点,并与直线 4x+3y-70=0 相切,求圆的方程。 x 2 +y 2 =196 例2 已知圆的方程是,求经过圆上一点的切线的方程。 222ryx??),( 00yxM),( 00yxMyx O . , ),( ., . 1 200 220 20 00 00 0 0 0 0ryyxx ryxM xxy xyy M y xkx yk k kk OM OM ?????????????所求的切线方程是在圆上,所以因为点的切线方程是经过点, 解: 设切线的斜率为则当点 M在坐标轴上时,可以验证,上面方程同样适用. 例2 已知圆的方程是,求经过圆上一点的切线的方程。 222ryx??),( 00yxMP (x , y) ),( 00yxM 由勾股定理: OM 2 +MP 2 =OP 2 解法二(利用平面几何知识): 在直角三角形 OMP 中 yx O x 0x +y 0 y = r 2 圆的方程是,经过圆上一点的切线的方程 222ryx??),( 00yxMx 0x +y 0 y = r 2 过圆( x-a ) 2 +( y-b) 2 =r 2上一点 M(x 0,y 0)的切线方程为: (x 0 -a )( x-a )+( y 0 -b )( y-b )= r2 练****3:写出过圆 x 2 +y 2 =10 上一点 M(2, ) 的切线方程。 6 练****4:已知圆的方程是 x 2 +y 2 =1 ,求: (1)斜率等于 1的切线的方程; 2x + y =10 662 (2)在 y轴上截距是的切线方程。 y = ± x+ 2 所以切线方程为: y = x ±2 提示:设切线方程为 y= x+b ,由圆心到切线的距离等于半径1,得: |b|1 2 +(-1) 2 =1 解得 b= ±2