文档介绍：高等代数第四版习题答案
【篇一：高等代数第四章矩阵练习题参考答案】
xt> 一、判断题
1. 对于任意 n 阶矩阵 a，b，有 a?b?a?b.
错.
2. 如果 a2?0, 则 a?0.
a???11?2?,a?0, 但 a?0. ??1?1?
23. 如果 a?a?e ，则 a 为可逆矩阵 .
?a2?e?a(e?a)?e ，因此 a 可逆，且 a?1?a?e.
4. 设 a,b 都是 n 阶非零矩阵，且 ab?0 ，则 a,b 的秩一个等于 n，一
个小于 n. ab?0 可得 r(a)?r(b)?n. 若一个秩等于 n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾 .只可能两个秩都小于 n.
5．a,b,c 为 n 阶方阵，若 ab?ac, 则 b?c.
a???11??21??32?,b?,c?????? ，有 ab?ac, 但 b?c. ??1?1???2?1???3?2?
6．a 为 m?n 矩阵，若 r(a)?s, 则存在 m 阶可逆矩阵 p 及 n 阶可逆
矩阵 q，使?ispaq???0?0??. 0??
a 的等价标准形，矩阵 a 等价于其标准形 .
7．n 阶矩阵 a 可逆，则 a*也可逆 .
*?a*a?|a|e a 可逆可得 |a|?0 ，又 a*也可逆，且 (a*)?1?
1a. |a|
8．设 a,b 为 n 阶可逆矩阵，则 (ab)*?b*a*.
正确.(ab)(ab)*?|ab|e?|a||b|e. 又 (ab)(b*a*)?a(bb*)a*?a|b|ea*?|b|aa*?|a||b|e.
因此(ab)(ab)*?(ab)(b*a*). 由 a,b 为 n 阶可逆矩阵可得 ab 可逆，两
边同时左乘式 ab 的逆可得 (ab)*?b*a*.
二、选择题
1．设 a 是 n 阶对称矩阵， b 是 n 阶反对称矩阵 (bt??b), 则下列矩阵
中为反对称矩阵的是（ b ）.
(a) ab?ba (b) ab?ba(c) (ab)2 (d) bab
(a)(d) 为对称矩阵，（ b）为反对称矩阵，（ c）当 a,b 可交换时为对
称矩阵.
2. 设 a 是任意一个 n 阶矩阵，那么（ a）是对称矩阵 . (a) aa (b) a?a (c)a(d) a?a
3．以下结论不正确的是（ c ）.
(a) 如果 a 是上三角矩阵，则 a 也是上三角矩阵；
(b) 如果 a 是对称矩阵，则 a 也是对称矩阵；
(c) 如果 a 是反对称矩阵，则 a 也是反对称矩阵；
(d) 如果 a 是对角阵，则 a 也是对角阵 .
4．a 是 m?k 矩阵, b 是 k?t 矩阵, 若 b 的第 j 列元素全为零，则下列
结论正确的是（ b ）
(a) ab 的第 j 行元素全等于零； (b)ab 的第 j 列元素全等于零；
(c) ba 的第 j 行元素全等于零； (d) ba 的第 j 列元素全等于零； 2222tt2t
5．设 a,b 为 n 阶方阵， e 为 n 阶单位阵，则以下命题中正确的是
（d ）
(a) (a?b)2?a2?2ab?b2(b) a2?b2?(a?b)(a?b)
(c) (ab)2?a2b2 (d) a2?e2?(a?e)(a?e)
6．下列命题正确的是（ b ）.
(a) 若 ab?ac ，则 b?c
(b) 若 ab?ac ，且 a?0 ，则 b?c
(c) 若 ab?ac ，且 a?0 ，则 b?c
(d) 若 ab?ac ，且 b?0,c?0 ，则 b?c
7. a 是 m?n 矩阵， b 是 n?m 矩阵，则（ b）.
(a) 当 m?n 时，必有行列式 ab?0 ；
(b) 当 m?n 时，必有行列式 ab?0
(c) 当 n?m 时，必有行列式 ab?0 ；
(d) 当 n?m 时，必有行列式 ab?0.
ab 为 m 阶方阵，当 m?n 时，r(a)?n,r(b)?n, 因此 r(ab)?n?m ，所
以 ab?0.
8
．以下结论正确的是（ c）
(a) 如果矩阵 a 的行列式 a?0, 则 a?0 ；
(b) 如果矩阵 a 满足 a?0 ，则 a?0 ；
(c) n 阶数量阵与任何一个 n 阶矩阵都是可交换的；
(d) 对任意方阵 a,b ，有(a?b)(a?b)?a?b
9．设?1?,2?,3?,4 是非零的四维列向量， a?(?1,?2,?3,?4),a* 为 a
的伴随矩阵， 222 已知 ax?0 的基础解系为 (1,0,2,0)t ，则方程组
a*x?0 的