文档介绍：第十二章 极限和导数
一、数学归纳法：
1、数学归纳法的步骤：“两步一结论〞.
2、数学归纳法的应用：主要用于证明与自然数有关的恒等式和不等式.
3、重要的数学思想和方法：“归纳—猜测—证明〞.<br****题：① 用数学归纳法证明：.
② 用数学归纳法证明：.
③数列满足，求.
二、极限
1、数列极限：
〔1〕公式：〔C为常数〕；〔p>0〕；.
〔2〕运算法如此：
假如数列和的极限都存在，如此和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.
例题：①将直线、、〔，〕围成的三角形面积记为，如此.
②和是两个不相等的正整数，且，如此．<br****题：①.
②设0<a<b，如此=_____.
③ 假如，如此．
④等于．
⑤数列的前n项和为Sn，如此＝________.
⑥数列的首项，其前项的和为，且，如此=.
2、函数极限：
〔1〕公式： 〔C为常数〕； 〔p>0〕；
；.
〔2〕运算法如此：
假如函数和的极限都存在，如此函数和的和、差、积、商的极限等于和的极限的和、差、积、商.<br****题：①；.
②，，且，如此.
③.
3、函数的连续性：
函数在处连续的充要条件是.<br****题：①函数在x=0处连续，如此.
②，下面结论正确的答案是 〔 〕
〔A〕在处连续〔B〕
〔C〕〔D〕
③假如，如此常数的值分别为.
三、导数
1、导数的概念：
〔1〕导数的定义：函数在处的导数.
〔2〕导数的几何意义：〔〕处的切线方程为.
〔3〕导数的物理意义：
假如质点运动的位移函数为S=s(t),如此时质点运动的瞬时速度是.
例题：①假如，如此等于.
②假如曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，如此.
③ 如图，一个正五角星薄片〔其对称轴与水面垂直〕匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面局部的图形面积为，如此导函数的图像大致为
④曲线.
(1) 求曲线在点处的切线方程； (2) 求曲线过点的切线方程.
⑤求抛物线上的点到直线距离的最小值.<br****题：①假如，如此等于.
②运动曲线方程为，如此t=3时的速度是.
③函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是
④曲线在点〔1，1〕处的切线方程是.
⑤点P在曲线y=上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，如此的取值X围是.
2、导数的运算：
〔1〕常见函数的导数：
；；；.
；；；.
〔2〕导数的四如此运算法如此：
；
, ；
.
〔3〕复合函数的求导法如此：首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数<br****题：①假如满足，如此.
② 等比数列中，，，，如此.
③ 求如下函数的导数：
〔1〕 〔2〕.
3、导数的应用：
〔1〕求函数的单调性：用导数求函数单调区间的一般步骤为：求；>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间.
例题：① 函数的单调递增区间为.
②函数，求()的单调区间.
③假如函数在区间〔1，4〕内为减函数，在区间〔6，+∞〕上为增函数，试某某数a的取值X围.
④函数在上是增函数，求的取值X围.<br****题：①函数的单调减区间为.
② 假如恰有三个单调区间，如此的取值X围是.
③a>0，函数f〔x〕=x3－ax在［1，+∞〕上是单调增函数，如此a的最大值是.
④求函数〔〕的单调性.
⑤是否存在这样的k值，使函数在〔1，2〕上递减，在〔2，+∞〕上递增
〔2〕求函数的极值：求导数；求方程=0的根；用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成假如干小开区间，并列成表格
，检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，如此在这个根处无极值.
例题：①函数f〔x〕=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值，求f〔x〕的极大值和极小值.
②函数f〔x〕=x3