文档介绍：Bezier 曲线在工程设计中,由给定型值点进行曲线设计往往由于型值点的误差而得不到满意的结果。另一方面, 在一些更注重外观的设计中,型值点的精度又不很重要。从 1962 年起,法国雷诺汽车公司的 Bezier 开始构造他的以“逼近”为基础的参数曲线表示法。以这种方法为基础,完成了一种自由型曲线和曲面的设计系统 UNIS-URF , 1972 年在雷诺汽车公司正式使用。 Bezier 曲线的形状是通过一组多边折线(称为特征多边形)的各顶点唯一地定义出来的。在多边形的各顶点中,只有第一点和最后一点在曲线上,其余的顶点则使用控制曲线的导数、阶次和形式。第一条和最后一条折线则表示出曲线在起点和终点处的切线方向。曲线的形状趋向仿效多边折线的形状。改变控制点与改变曲线形状有着形象生动的直接联系。如图。 1) Bezier 曲线的定义给定 n+l个空间向量 bi(i= 0,l,…,n),称 n次参数曲线段为 Bezier 曲线。式中使用了 Bernstein 多项式 Bi,n(u)作为基函数: u是局部参数, u∈[0, 1]。我们给出 n=3的 Bezier 曲线的矩阵表示: 则有 P(u)=UMB 2) Bezier 曲线的性质 Bezier 曲线的基本数学表达式: 这说明 Bezie r曲线在始点和终点处的切线方向是与 Bezie r控制多边形的第一边及最后一边的走向一致。这说明曲线在起点和终点处的二阶导数仅与相邻的二点位置有关,而与其余各点的位置关。 Bezier 曲线的这一特性说明,只需适当移动控制点就能获得满意的曲线位置和形状。利用这个特性,当采用分段 Bezie r 曲线时,只要保证曲线在接点处的折线共线,就可以得到 C1连续性。如图 Bezier 曲线,当两段曲线的控制折线在接点处共线时,就保证了它们连成的曲线在公共端点的一阶连续。 Bezier 曲线还具有凸包性,即 B6zier 曲线均落在由它的控制点形成的凸壳内。所谓凸壳是指用橡皮图从外面去套所有控制点所形成的凸多边形。研究表明,分段 Bezier 曲线的凸包性体现更明显,这对于曲线的分割求交将更为有利。此外, Bezie r曲线的形状仅与特征多边形各控制点bi有关, 它不依赖于坐标系的选择,因此具有几何不变性。没有局部控制能力是 Bezier 曲线的一个缺点。在工程中,产品的模型常常需要局部修改。缺乏局部控制的能力在工程中是难以接受的。 Bezier 曲线另一缺点是随着控制点的增加,曲线的次数也增加,因而计算量增大。下面介绍的 B样条曲线可克服这两个缺点。 3) Bezier 曲线的计算及分割作图法 Bezier 曲线在工程中广泛接受的一个重要原因是其可以采用非常简单的方法制作。下面推导 Bezier 多项式的递归关系,这种关系可方便用计算机程序实现,而且便于用图形来解释。重写 Bezier 曲线方程为可以看到,第一个括号内的项形成对控制点 b0, b1,…, bn-1 的 Bezier 多项式,而第二个方括号内的项对 b1, b2,…, bn形成多项式。现在引人符号 Pk,i(u)表示对 bk, bk+l,…,b的 Bezier 多项式, 那么上述方程可以重写为上式表明, Bezier 多项式可以由另外两个这种多项式求得。其求法为用