《复变函数》.ppt

文档介绍：z0
K
z
r
z
设函数 f (z)在区域D内解析, 而|z-z0|=r为D
内以z0为中心的任何一个圆周, 它与它的内部
全含于D, 把它记作K, 又设z为K内任一点.
§3 泰勒级数
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按柯西积分公式, 有:
且
z0
K
z
r
z
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由解析函数高阶导数公式,上式可写成
在K内成立, 即 f (z)可在K内用幂级数表达.
z0
K
z
r
z
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q与积分变量z无关, 且0q<1.
| f (z) |  M.
由于 f (z) 在K上连续,
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因此, 在K内成立:
右端的级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数.
称为f (z)在z0的泰勒展开式,
则 f (z)在z0的泰勒展开式在圆域 |z-z0|<d 内成立.
圆周K的半径可以任意增大, 只要K在D内.
所以, 如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,
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一、定理1 设 f (z)在区域D内解析, z0为D内的一点, d为
注： 如果 f (z)在z0解析, 则使 f (z)在z0的泰勒展开式
z0到D的边界上各点的最短距离, 则当|z-z0|<d 时,
成立的圆域的半径 R等于从z0到 f (z)的距z0最近一个
奇点a 的距离, 即R=|a-z0|.
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任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.
利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数:
把 f (z)在z0展开成幂级数, 这被称作直接展开法
二、直接展开法
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例1 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式.
因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+.
(ez)(n) = ez,
(ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...) ，
故有
由于
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例2 求得sin z与cos z在z=0的泰勒展开式:
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除直接法外, 也可以借助一些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据来得出一个函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 例如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出:
三、间接展开法
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