文档介绍：高等代数课件
编辑ppt
第五章向量空间
向量空间的定义
向量的线性相关性
基维数和坐标
子空间
向量空间的同构
编辑ppt
§ 向量空间的定义
一、向量空间概念的引入
二、向量空间的定义
三、向量空间的例子
四、向量空间的基本性质
编辑ppt
一、向量空间概念的引入
例1 设C是复数集合，R是实数域，对C中任意两个数a和
b，有a+bC, 对任意的kR ，kaC. 并且复数集合C对数的加
法和乘法运算, 满足下面的运算律：
1) a+b＝b+a；
2) (a+b)+c＝a+(b+c)；
3) 0+a＝a；
4) 对任意aC ，存在bC ，使a+b＝0；
5) k(a+b)＝ka+kb；
6) (k+l)a＝ka+la；
7) (kl)a＝k(la)；
8) 1a＝a.
这里a，b，c是任意复数，k，l是任意实数。
编辑ppt
例2 在平面上建立直角坐标系后，把从原点出发的一切向
量组成的集合记为V2.
对V2中任意向量X和Y, 用平行四边形法则，有X+YV2. 对
任意实数k以及V2中任一向量X，有kXV2. 并且对任意的X, Y,
ZV2，a, bR，有
1) X+Y＝Y+X；
2) (X+Y)+Z＝X+(Y+Z)；
3) 0+X＝X，其中0是V2中的零向量；
4) 对任意XV2，存在Y，使X+Y＝0，其中Y是X的负向量；
5) a(X+Y)＝aX+aY；
6) (a+b)X＝aX+bX；
7) (ab)X＝a(bX)；
8) 1X＝X.
编辑ppt
例3 设Fn [x]是次数不超过n的系数在F中的多项式连同零多项式组成的集合. 对任意两个多项式f(x), g(x)Fn [x] ，f(x)+g(x)Fn [x]. 又对F中的任意数k, kf(x)Fn [x]. 并且，对Fn [x]中任意多项式f (x), g(x), h (x)及F中任意数a, b，有
1) f (x)+g(x)＝g(x)+f (x)；
2) [f (x)+g(x)]+h(x)＝f (x)+[g(x)+h(x)]；
3) 0+f (x)＝f (x), 0是Fn [x]中的零多项式；
4) 对任意f (x)  Fn [x]，存在g(x),使f (x)+g(x)＝0；
5) a· (f (x)+g(x))＝a ·f (x) +a·g(x)；
6) (a+b) ·f (x)＝a·f (x)+b·f(x)；
7) (ab) ·f (x)＝a· (b·f(x))；
8) 1·f (x) ＝f (x).
编辑ppt
例4 设Mmn(F)是数域F上全体mn矩阵的集合，对任意的
A,BMmn(F) ，A+B  Mmn(F), 对任意的k F，kA  Mmn(F).
并且对任意的mXn矩阵A,B,C及任意的F中的数a，b，有
1) A+B=B+A ；
2)(A+B)+C=A+(B+C) ；
3) 0+A=A ；
4) 对任意的A  Mmn(F)，存在B，使得A+B=0 ；
5) a(A+B)=aA+aB ；
6) (a+b)A=aA+bA ；
7) (ab)A=a(bA) ；
8) 1A=A .
编辑ppt
上面例子中涉及的数学对象不同，但它们有共同点，即都有一个非空集合，一个数域，有两种运算，并且这两种运算满足8条运算律。
例 1： C, R
a+b，ka
例 2 ： V2 ， R
X+Y ，kX

例 3： Fn[x] ，F
f(x)+g(x) , kf(x)

例 4： Mmn(F), F
A+B，kA
—————————————------——-
1)  +=  +  ；
2) ( +)+  ＝  + (+ )
3) 0+  = 
4) 对任意 ，存在 ，使得
 +  = 0， 称为的负元素；
5) a( +) = a +a ；
6) (a+b) =a +b ；
7) a (b)=(ab) ；
8) 1 = .
编辑