文档介绍：2
—0,则称(x, y)为在区域 y
D内的调和函数。
定理三任何在区域
D内解析的函数，其实部和虚部均为
D内的调和函数，且满足柯西
以下通过例题讲述柯西
--黎曼方程的应用方法。
柯西-黎曼方程的应用
刘兵军
在复变函数中，柯西-黎曼方程具有很强的应用性。利用柯西 --黎曼方程判断一个复变函数
的解析性，是非常简单的。而利用解析性的定义来判断一个复变函数的解析性就非常麻烦。已知一解析函数的实部 (或虚部)，利用柯西--黎曼方程还可以还可以求出此函数的虚部 (或实部)，
从而得到函数的表达式。
定理一设函数f(z) u(x, y) iv(x, y)定义在区域 D内，则f(z)在D内一点x iy可
导的充要条件是u(x, y)和v(x, y)在点(x,y)可微，并且在该点满足柯西 -黎曼方程
u v u v
-, -。
x y y x
定理二设函数f (z) u(x, y) iv(x, y)定义在区域D内，则f(z)在D内解析的充要条
件是：u(x,y)和v(x,y)在D内可微，并且满足柯西--黎曼方程
u v u v
一 ?
x y y x
利用定理一可以判断函数在一点的可导性，而利用定理二可以判断函数在一个区域内的可导性，即解析性。
2
定义一如果实二元函数 (x, y)在区域D内满足一2
x
例1 判断下列函数在何处可导，在何处解析:
(1) w
z； ⑵ f (z) ex(cosy
i siny);
(3)
w zRe(z)。
解 (1)
u .
y，一 1，
x
0,
—v ,柯西--黎曼方程不满足，故 w
y
z在复平面内处处不可导且处处不解析。
x x
⑵ u e cosy , v e sin y ,
x
e cosy
ex sin
柯西--黎曼方程成立,
(3) w
zRe(z)
仅当
xyi
v ex
ex (cos y
xy
—,柯西--黎曼方程不满足，故 y
0时,
zRe(z)
xyi仅在z
设函数f (z) x2
axy
by2
f (z)在复平面内处处解析?
axy
by2
故当
2x
ay
ax
2by
a 2, b
已知函数u(x,y)
解由于f (z)
u(x, y)
y2 3x,
v 2xy 3y
(x),再由
i sin y)在复平面内处处解析。
z在复平面内处处不解析。
—,柯西--黎曼方程成立，故函数 x
0时可导，但在复平面内处处不解析。
2 . 2
i(cx dxy y
2 cx
dxy
2cx
dy
2x ay dx ax 2by
,问常数a,b,c,d取何值时,
2y
2cx dy
2时，函数在复平面内处处解析。
3x，求 v(x, y),使得 f (z) u(x, y) iv(x,y)解析。
iv(x, y)解析，u和v满足柯西-黎曼方程。
由-u 2x
x
3 —,两边对y积分