文档介绍：1 引言
-Riemann方程则是判断复变函数可微和解析的主要条件,[1]、[2]提到函数可微、解析定义及满足它们的一些条件,文献[3]、[4]、[5]给出几种Cauchy-Riemann方程等价形式.
现在对解析函数Cauchy-Riemann方程研究的文章非常的多,这些文章已经将它们证明研究得比较深刻,但对它们作出全面的概括和总结这方面的工作还是不多,.
本文先介绍可微、解析定义,给出解析函数满足Cauchy-Riemann方程,再给出几种Cauchy-Riemann方程的等价形式.
2 基本概念与定理
设函数定义于区域, .如果极限
存在,则称在点可导或可微,其极限值称为函数在点的导数,
.
有了函数在一点可微的概念以后,下面我们引进复变函数的一个主要概念——解析函数.
如果函数在区域内每一点都可微,则称在内解析,并称是区域内的解析函数.
如果函数在的某一邻域内解析,,即存在区域,使,而在内解析.
若在区域内除了可能有些例外点外,函数在内其它各点都解析,则这些例外点称为的奇点.
试证明在点可微,但在平面上任何点都不解析.
证:
故在点可微,且.
设,令,则,,考虑极限
当沿平行于实轴的方向趋近时,因,故
当沿平行于虚轴方向趋近于时,因,故
因为,至少有一个不为零,,,,但不存在的一个邻域,使在此邻域内每一点都可微,故在点也不解析,从而在平面上任何点都不解析. #
此例说明函数在一点可微,但在这一点不一定解析.
有了可微性和解析性的定义之后,即得下述定理:
设函数定义与区域,,则在点处可微的必要与充分条件是:,在点处可微,且满足Cauchy-Riemann方程
(1)
证: 必要性设,.因在点可微,
(2)
当时,.令,,,则当,时,,.于是由(2)式,
其中,.则比较实部与虚部,则
,
(3)
其中与与,
,
而当,时,,.故当时,,(3)即知,在点处可微,且在点处有
,,,,
于是,
因此满足Cauchy-Riemann方程.
充分性设,在点处可微,则在点处有
.
.
其中,,.因Cauchy-Riemann方程(1)成立,如令,,则
.
故.
(当),
故.
于是.
因此在点可微. #
3 几种不同形式的Cauchy-Riemann方程
梯度形式
设,,的Cauchy-Riemann方程等价于
(4)
证:若实形式的C-R条件成立,即
那么有
其中,分别与轴,轴正向相同的单位矢量.
反之,若(4)式成立,则有
(5)
设那么,方程组(5)化为
(6)
其中此方程组的系行列式为
=
事实上,若
.
由(5)式可知.
故我们有
即
.
这是一个矛盾的结论,所以方程组(6)
复形式
若考虑二实变数的复值函数,引进复变数则.
于是
这里形式地把考虑为与的函数,而把与视为独立的自变量,因此可以对自变量与求导数.
在区域内解析的充分必要条件是,在内可微且满足Cauchy-Riemann方程.
证:
(7)
在区域内解析的充分必要条件是,在内可微且满足Cauchy-Riemann方程
而
所以f(z)应满足偏微分方程
(8)
将(7)和(8)比较,得
.
因此解析函数是以条件为其特征,即Cauchy-Riemann方程的复形式可表示为
.
(7)式在作为极限定义时并没有什么方便之处,,实际上与并不是独立变量,,一个解析函数与无关,,而不称之为两个实变数的复值函数的理由.
极坐标形式
定理3. 3. 1 :是在区域内的解析函数,于是有Cauchy-Riemann方程的极坐标形式,即
(9)
证:因为所以
, (10)
, (11)
, (12)
, (13)
将得
将(9)式代入得
(14)
再把得
(15)
比较(14)式与(15)式,得