文档介绍：矩阵相似的性质与应用的研究
1引言
矩阵相似的理论是数学分析的重要概念之一，同时也是教学中的难点之一， 特别是矩阵相似与可对角化矩阵问题，在各个版本的数学类图书中，往往将这两 个问题紧凑的联系在一起。矩阵相似的概念是为深入研究矩阵特性而提出的，其 中一部分的问题可以转化为与一个对角化矩阵相似问题进而使问题研究简化，而 另一些矩阵不能与一个对角矩阵相似，那么这类问题就只能用定义或者若而当标 准型来解决。
由于矩阵相似的应用范围相当广泛。本文主要是从矩阵相似定义以及各种性 质的理论基础上直接引入矩阵在微分方程、自动控制理论基础等领域应用的实例 并由此进行研究，也使这部分内容能够相互融合起来，更有利于学****者的掌握和 应用。
2矩阵相似的定义与基本性质
令Sw C“X"为非奇异矩阵，考察矩阵Aw 的线性变换
B = S lAS
令线性变换B的特征值为久，对应的特征向量为y,即
By = Ay
将式B = S^AS代入上式，即有S 'ASy =念或A(Sy) = A(Sy)
令x = Sy或丁 = 5七，则式A(Sy) = /l(Sy)可以写作
Ax = Ax
比较By = Ay和心=加两式可知，矩阵A和B = 具有相同的特征值，并且
矩阵B的特征向量;y是矩阵4的特征向量x的线性变换，即v = S~'x o由于矩阵 4和B = S 'AS的特征值相同，特征向量存在线性变换的关系，所以称这两个矩 阵“相似”。于是：
设4、B都是"阶方阵，若有可逆方阵S,使S 1 AS = B^则称B是4的 相似矩阵。或者说矩阵4与B相似。对4进行运算p-'Ap称为对4进行相似变 换。可逆矩阵P称为把4变成B的相似变换阵。
2矩阵相似的一些基本性质：
自反性：A~ Ao
对称性：A-B则2~4。
传递性：4~3及2~（7可得：A~ Co
如果"阶矩阵A,B相似，则它们有相同的特征值。但逆命题不成立。
相似矩阵另外的一些特性：
1） 相似矩阵有相同的秩。
2） 相似矩阵的行列式相等。
3） 相似矩阵或都可逆，或都不可逆。当它们可逆时，它们的逆也相似。
4） A~ B 则 kwN、AT ~ BT . A 1 - B ' （若 A, B 均可逆）、
\AE -A\ = \AE - B\从而A , B有相同的特征值o
3相似对角矩阵的有关性质
设V是复数域C上的"维线性空间，T是V的一个线性变换。又弓灼,…®与 是
V的两组基，从第一组基到第二组基的过渡矩阵是P。则线性变换 T在这两组基下的矩阵4与B相似，即
B = P ' AP
我们自然会问：矩阵4可否相似与一个对角形矩阵？换言之，是否可以适当的选 取第二组基，使得线性变换T在这组基下的矩阵B是个对角矩阵呢？
我们逐步解决这个问题。
首先设想矩阵A能相似与一个对角矩阵，即设
A
P-XAP =
▲
因而有 AP = P
&
若把P写成分块矩阵
P = (X|,X2,…,X”)，
这里Xx,X2,---,Xn代表P的"个列向量。应用矩阵乘法规则，容易验证
AP = (AX1,AX2,---,AX;1),
A
P =(AX„AX2,-,AXn)
故由(2)式可得
AX. =/.(z = 1,2, •••,«) (3)
或
(A,E-A)X,. =0 (z = l,2,---,n)o
这说明，若A能够与对角矩阵相似，贝阿逆矩阵P = (X「X2,…,X”)的每个 列向量(非零向量)X：都满足(3)式。简言之，对于"阶矩阵A, n维列向量X, 并且存在"个线性无关的特征向量X15X2,-,X„相应的特征值分别为 人，人,…，&即有 AXl=2iXi(i = l,2,---,n)取P = (X”X2,…,X”)最终可得到
A '
右
P-1AP =
4
即4与对角形矩阵相似。
如果两个矩阵4和B都可以相似同一个对角矩阵P,那么A-B.
如果"阶矩阵4的每个S,重特征根人，有秩(&卫-4) = “-S,贝M与 对角矩阵相似，否则不相似，其证明如下：
证明：设"阶矩阵4的互异特征根为人A，…,&，其重数分别为S”S2,…,S,, 则有 S]+S2+--- + S,. =« (A必有"个特征根)，
而由秩(&E — 4) = “ — S,式得到 n — r(/E -A) = n-(n -S,) = S& = 1,2,…,z)。 即齐次线性方程组(A-E-A) X=0的基础解系有S：个解向量。
由"-r(&E -A) = n-(n -S,) = S,(z = 1,2,•••,/)式知道A有n个线性无关的