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数列基本概念
数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的 性质，依据这些性质将数列分类：
依定义域分为：有穷数列、无穷数列；
依值域分为：有界数列和无界数列；
依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）；
数列通项：亠I
2、等差数列
1、 定义 当叵]，且闫 时，总有 [—■ , d叫公差。
2、 通项公式 I ■
1） 、从函数角度看 ]_ ■ 是n的一次函数，其图象是以点 回 为端点，斜率为d斜线
上一些孤立点。
2） 、从变形角度看 [_ ■ ,即可从两个不同方向认识同一数列，公差为相反数。
又 ■ r L ~M ,
相减得 ,一 ■ ,即 ,—■
若n>m,则以 凶为第一项，因是第n-m+1项，公差为d；
若n<m ,则 因以为第一项时，因是第m-n+1项，公差为-d.
3）、从发展的角度看 若0是等差数列，则
,因此有如下命题：在等差数列中，若
3、前n项和公式
由
还可表示为
,是n的二次函数。
相加得 | x ]
特别的，由 I — I 可得
3、等比数列
1、定义当日，且回
时，总有
胡叫公比。
2、通项公式：
□ ,在等比数列中，
若 1 =~= 1 .则
3、前n项和公式：
由 JEZ
■
,两式相减，
当 3时，
1
当回时，。
关于此公式可以从以下几方面认识：
①不能忽视 [x 1 成立的条件：3 o特别是公比用字母表示时，要分类讨论。②
公式推导过程中，所使用的“错位相消法”，可以用在相减后所得式子能够求和的情形。
如，公差为d的等差数列S ,
相减得
当回时，
3）从函数角度看
因是n的函数，此时q和因是常数。
4、等差与等比数列概念及性质对照表
名称
等差数列
等比数列
定义
1 ■
■ = V ■
[X | 1 K |
通项 公式
LKJ
变式： r~ — 1
3
性质
!«■
=1
中项
单调性 时 增
S时 常数列国时 减
㈢
[K I 或 [X 1 增；
[=I 或 ]x ■ 时减;a 时常数列， a 时摆动数列
前
n
项和
（推导方法：倒加法）I X ■
结论1、
a等差，公差d,则 ㈢ 等差 公差 kd ； 子数 列
■ = V ■ 等差,公差md;若叵]等差，公差因，则 a
等差，公差回。
回等差，公差d则 WJ 等差，公 差2d; ] — ■ 等差，公差3d.
■ — ■ 等差，公差
a，且 \ — ■ 即连续相同个数的和成等差数列。
3、
=■^飞
S
（推导方法：错位相消法）
I X ■
0等比，公比q-则回等比，公比 q ； H等比，公比因；[KI等比，公比
a o子数列 r^i 等比，公比H ； 若3等差，公差d,则叵|等比，公比为
3日。
0等比，公比q,则凶等比，公比目；
等比，公比因；
]二■ 等比，公比q;
[—■ 等比，公比凶，（当 k为偶数时，EHJ ）o3等比，公比
等差S共2n项，则
等差0，共2n+l项，贝u
1 — 1
=3
II * 1
5、
冈等差 1 I
EHJ
■ 一 ・ —|
0等比，公比q 1 X I
II X 1
联系1、
各项不为0常数列，即是等差，又是等比。
2、
通项公式目 1 X 1
3、
E等差，公差d, wj ,则 r^i ，即 a 等比，公比耳.
4、
冈等比，公比a «1 31 . ■ 一 I 即[
S •
5、
E等差，0等比，则 凹 前n项和求法，利用错位相消法
6、
求和方法：公式法，倒加法，错位相消法，裂项法，累加法，累积法，等价转化法等。
5、递推数列表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数，数列可用递推 式表示。求递推数列通项公式常用方法：公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的，累加法是求形如
I — ■ 递推数列的基本方法，其中数列 耳可求前n项和，即
[-~- ;累乘法是求形如 【—I 递推数列通项公式的基本方法,
其中数列 S 可求前n项积，即
目等差数列
等差数列的概念
定义式:
,或
递推式： ]—■
等差中项：任何两个数S都有且仅有一个等差中项回 |
通项公式： [—■ , _ ■ （广义）.
特征： I = 1 ,其中 \ — ■ .
前n项和: