文档介绍：高 等 结 构 动 力 学
程 伟
2009年9月
目 录
第一章 结构的物理和力学描述 5
5
结构的平衡特性 5
5
7
9
10
结构响应 11
结构的能量 15
固有特征 16
16
17
17
18
18
结构的波动和振动 19
19
第二章 结构的泛函描述 22
概述 22
函数空间 28
28
30
31
35
第三章 分析力学 40
广义坐标、约束和自由度 40
42
动力学原理 44
44
44
45
48
第四章 变分原理 54
变分法的概念 54
54
结构算子方程 58
58
61
61
62
62
弹性力学变分原理 62
线弹性理论基本方程 62
67
第五章 变分问题的近似解法 70
近似法的基本概念 70
有限差分法 71
里兹法 72
瑞利-里兹法 73
康托罗维奇法 75
伽辽金法 76
最小二乘法 80
第六章 结构的耦合和模态 81
实模态 81
81
82
83
伴随方程 83
阶系统 83
84
阶方程的解 86
旋转结构中的陀螺效应 87
流固耦合问题 90
动态子结构分析 92
92
第七章 结构控制 96
引言 96
经典控制方法 96
最优控制 99
101
105
107
结构的物理和力学描述
1) 整体性：结构上的整体性（各部件通过力、能量等联系成一个整体）；
2) 抽象性：一个数学模型可以表示不同的结构；
3) 相对性：结构中部件和整体是相对的；
4) 多样性：同一个结构可以有不同的数学模型；
5) 三要素：激励（输入）、结构（系统）、响应（输出）。
结构的平衡特性
在研究结构动力学问题时，如果假设物体的材料是均匀的，其变形是微小的，并且服从虎克定律，就可以把它看作是一个具有无限多自由度的弹性连续系统，其运动方程表现为偏微分方程。下面我们根据牛顿矢量力学的基本原理，导出几种一维结构的运动微分方程，并说明其内在的数学物理本质。
.1 粘性阻尼系统
单自由度系统
参见图，单自由系统一般指无阻尼或粘性阻尼系统，即
（）
其中，为质量；为粘性阻尼系数；为刚度；为主动力；、和分别为位移、速度和加速度。式（）表示了系统内惯性力、阻尼力、弹性力和主动力的平衡关系，即
（）
在式（1. ）中令，可以得到自由振动方程
（）
方程（1. ）可以化为标准形式
（）
其中，，。利用方程（1. ）或（1. ）可以分析系统的固有（与载荷无关）特性。
.2 结构阻尼系统
在方程（1. ）中，基于粘性阻尼的特点，假设阻尼力与速度成正比且反向。但研究表明，对于由材料内阻产生的阻尼，可假设其力与位移成正比，且与速度反向，即
（）
其中。式（
（）
其中称为复刚度。
.3 结构简谐振动时的平衡特性
单自由度稳态运动力平衡图
简谐振动是结构的一种稳态运动形式，这时主动力可以表示为
（）
其中为激振频率。而位移可以表示为
（）
（
（）
其中
， （）
其中，称为频率比，相应于方程（）,（）可以表示为
， （b）
根据（），结构的弹性力、阻尼力和惯性力可以分别表示为
，， （）
针对结构阻尼，与（）相应的阻尼力可表示为
（b）
简谐振动时,(
力与位移的关系
根据（）式，有
（）
与的虚部的比例为，所以在由与组成的坐标系中有
单自由度稳态运动力平衡图
（）
由于在共振时，或，可得到此时系统内的平衡关系图如图所示，这时弹簧力平衡惯性力，主动力平衡阻尼力。这时阻尼力与位移组成的椭圆的面积为代表一个周期内由于阻尼引起的能量耗散。