文档介绍：第四节正定二次型及正定矩阵
第六章二次型
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一、正(负)定二次型的概念
具有实对称矩阵A的n元二次型为
如果对于任意的非零向量，都有
（或<0）成立，那么称二次型为正定
（负定）二次型，A为正定（负定）矩阵。
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如果对于任意非零向量，都有（或）成立，并且存在某向量X0,使得

那么称二次型为半正定（半负定）二次型，A为
半正定（半负定）矩阵。
3）如果对某向量，有，而对另一
向量，有，则称该二次型为不定
二次型。矩阵A称为不定矩阵。
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例如
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准则1 对称矩阵A为正定的充分必要条件是： A的特征值全为正．
二、正(负)定二次型的判别
证明必要性
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充分性
推论1 n元实二次型正定的充要条件是其正惯性指数为n.
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对负定矩阵也有类似结论：
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准则二实对称矩阵A正定的充分必要条件为A合同于单
位阵E.
证明:
若二次型正定,则A的特征值全部为正
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推论1 对称矩阵为正定矩阵的充要条件是其存在可逆矩阵C 使得A=CTC.
若A与单位阵合同，则存在可逆矩阵C,使A= CTEC= CTC，则对于非零向量x
推论2 对称矩阵为正定矩阵，则A的对角线上的元素均大于零。
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准则3 对称矩阵为正定的充分必要条件是：
的各阶主子式为正，即
对称矩阵为负定的充分必要条件是：奇数阶主
子式为负，而偶数阶主子式为正，即
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