文档介绍：人教版高一数学函数
高一数学函数
一、知识结构
二、重点难点
重点：有关映射与函数的概念，要求会求函数的定义域和一些简单函数的值域；幂函数的图象和性质；单调性的概念；反函数的概念；要掌握函数的图象和性质；对数运算与指数运算的关系，对数式与指数式的互化；对数性质和运算法则；
难点：映射的概念；幂函数的应用；用定义判定函数的单调性与确定函数的单调区间；反函数的求法；利用指数函数的性质，结合有关幂函数以及函数的单调性、奇偶性和有关复合函数的知识解决函数值的比较与求值域问题；对数概念与各名称的意义的理解；注意法则应用的条件和推导。
三、知识点解析
1、函数：
（1）定义：1）传统定义：如果在某变化过程中有两个变量，并且对于在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有惟一确
依据符合函数单调性有关结论；5）为增函数，为减函数；
（3）函数的周期性：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，那么就把函数叫做周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期；对于一个周期函数，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期：1）式子对定义域中的每一个值都成立，即对定义域中的任何，式子都成立，而不能是“一个”或“某些”；2）一个函数是周期函数，它并不一定就有最小正周期，如：（是常数)，显然，对任何一个正数T，都有；这就是说，任何一个正数都是的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数不存在最小正周期。③设是的周期，那么且)也一定是的周期。
3、反函数
（1）反函数的意义：一般地，式子表示是自变量的函数，设它的定义域为A，值域为B、我们从式子
中解出，得到式子。如果对于在中的任何一个值，通过式子，在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子就表示是自变量的函数，这样的函数，叫做函数的反函数，记作，即，在函数式中，表示自变量，表示函数。习惯上，一般用表示自变量，，把它改写成。1）与具有四性：A、互换性；B、对称性；C、奇偶性；D、单调性；2）和互为反函数，即或；3）求反函数的步骤：A、解出 ；B、交换，得；C、解出反函数的定义域(即原函数值域)；4）互为反函数的两个函数图像关于直线对称；
（2）反函数存在的条件：，只有原象具有唯一性的函数，即对任意的，能推断出成立的函数才具有反函数；
（3）反函数与原函数的关系：1）原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；2）与互为反函数，设的定义域为A，值域为C，则有，；
（4）反函数的求法：可以根据反函数的定义求出已知函数的反函数，其步骤为：1）由解出；2）交换，得；3）根据的值域，写出的定义域。
4、幂函数、指数函数、对数函数
（1）幂、指数、对数式
1）同底数幂的运算性质：
①，②，③；
2）根式的运算性质：
①，②当是偶数时，当是奇数时；
3)分数指数幂与根式的关系规定：
①正分数指数幂，
②正分数指数幂；
4)对数及对数的运算性质：
①定义：如果且)，则数叫做以为底N的对数，记作，
②对数恒等式：(a＞0且a≠1，N＞0)，
③对数的性质：（ⅰ）负数和零没有对数，（ⅱ），（ⅲ）；
④对数的运算法则：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ）；
⑤换底公式：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）；
（2）幂函数
1）定义：形如(是常数)的函数叫幂函数；
2)幂函数的图像见图：
3）幂函数的性质：
①都过点(1，1)；
②除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数都不过第四象限；
③时，幂函数图像过(0，0)且在(0，+∞)上是增函数；时，幂函数图像不过(0，0)且在(0，+∞)上是减函数；
④任何两个幂函数图像最多有三个公共点，除(1，1)，(0，0)，(-1，1)外，其它任何一点都不是两个幂函数的公共点；
（3）指数函数
1）定义：形如(且)的函数叫指数函数；
2）指数函数的图像见图：
3）指数函数的性质
①都过(0，1)点；
②定义域为，值域为；
③时，在(-∞，+∞)上是增函数；时，在(-∞，+∞)上是减函数；
④时，；时，。
（4）对数函数
1）定义：形如(且)的函数叫对数函数；
2）对数函数图像见图。对数函数图像和指数函数图像关于直线对称(互为反函数)；
3）对数函数的性质：
①都过(1，0)点；
②定义域为，值域为；
③时，在(0，+∞)上是增函数；时，在(0，+∞)上是减函数；
④时，；时，。
四、例题
1、函数
例1  审查下面四个命题：（ⅰ）是函数；（ⅱ）函数是其定义域到值域的