定积分的概念.ppt

文档介绍：定积分的概念
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1
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(2)取近似求和:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积
f(xi)Dx近似之。
(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为
取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：
xi
y=f(x)
x
y
O
b
a
xi+1
xi
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:
每个小区间宽度⊿x
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2
一、定积分的定义
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
分割---近似代替----求和------取极限得到解决.
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3
定积分的定义：
定积分的相关名称：
 ———叫做积分号，
f(x) ——叫做被积函数，
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量，
a ———叫做积分下限，
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
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4
按定积分的定义，有
(1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为
(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为
定积分的定义：
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5
1
x
y
O
f(x)=x2
O
v
t
1
2
.
6
1.
与
的差别
3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有
4．规定：
是
的全体原函数 是函数
是一个和式的极限 是一个确定的常数
注：
2 .当
的极限存在时，其极限值仅与被积函数
及积分区间
有关，而与区间
的分法及
点的取法无关。
f(x)
[a,b]
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7
(2)定积分的几何意义：
O
x
y
a
b
yf (x)
x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
.
8
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，
x
y
O
=-
．
a
b
yf (x)
y-f (x)
=-S
上述曲边梯形面积的负值。
定积分的几何意义：
=-S
.
9
a
b
yf (x)
O
x
y
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?
a
b
yf (x)
O
x
y
.
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