文档介绍：函数零点问题典例(含答案)
1
1、(1)求函数f(x) = 2x—吩一2的零点；
(2)已知a,b是实数，1和一1是函数f(x) = x3+ax2+bx的两个极值点.
①求实数a和b的值；
②设函数g(x)的与函数g' (x)=f(x)+2,求函数g(x)的极值点.
2、(1)判断函数f(x) = 2—x—lg(x+1)的零点个数；
e2
(2)已知函数 f(x)=-x2+2ex+1—1, g(x) = x+-(x>0).
x ' '
①若函数g(x) —m有零点，求实数m的取值范围；
②确定实数t的取值范围，使得关于x的方程g(x) —f(x)=0有两个相 异实根
3、已知函数f(x)=2x+ln(1—x),讨论函数f(x)在定义域内的零点个数.
4、已知函数 f(x)=x2+2mx+ 2m+ 1.
(1)若函数f(x)的两个零点xi, x2满足xiW(—1,0), x2W(1,2),求实数m 的取值范围；
(2)若关于x的方程f(x)=0的两根均在区间(0,1)内，求实数m的取值 范围,
2 1
5、已知函数 f(x) = §x+2, h(x)=，k (1)设函数 F(x)=18f(x) —x2[h(x)]2, 求函数F(x)的单调区间与极值；
(2)设 aW R,解关于 x 的方程 log4：3f x—1 -4 =log2h(a —x) —log2h(4
—x).
xln x, x>0,
6、已知函数f(x)=, 八
xln — x , x<0.
(1)判断函数f(x)的奇偶性；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若关于x的方程kf(x)= 1恰有3个不同的根，求实数k的取值范围.
1、分析
、一 1
(1)求函数的零点，即求方程 2x—下一2=0的根.
(2) 占 八、、•
【解析】
人 1
⑴令 2x—了―2=0,
由2x>0,方程两边同时乘以 2x,
得(2x)2 —2X2x— 1 = 0.
由一元二次方程的求根公式，得 2x= 1也.
由 2x>0,知 2x=1 +/.
，函数 f(x) = 2x—2 的零点是 x=log2(1+V2).
⑵①由题设，知 f' (x)=3x2+2ax+b 且 f' (―1) = 3—2a+b=0,
f (1) = 3+2a+b = a=0, b = — 3.
②由(1),得函数 f(x)=x3—3x.，f(x)+2=(x—1)2(x+2).
・•・方程g' (x)=0的根是 x1 = x2= 1 , x3= - 2.
・•・函数g(x)的极值点只可能是1或一2.
当 x< 一2 时，g' (x)<0,当一2<x<1 时，g' (x)>0,
，—2是极值点.
又当一2<x<1或x>1时，g' (x)>0,故1不是极值点.
，函数g(x)的极值点是一2.
【点评】含指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化， 解二次方程的
.
2、分析
(1)直接解方程f(x)=0有困难，可以作由函数 y=2-x及y=lg(x+1)的图象，还 可以用判定定理.
(2)画由函数图象，结合最值与交点情况求解.
【解析】
(1)方法一：令 f(x)=0,得 2-x=lg(x+1),作由函数 y=2-x&y= lg(x+1)的图
象(如图2—16—1),可知有一个交点.，函数 f(x)的零点有且只有一个.
方法二：
首先x>— 1,在区间(一1, + oo)上2一X是减函数，—|g(x+1)也是减函数, ，函数f(x)在区间(一1, + oo)上为减函数且连续.
1 vf(O) = 2o-lg 1 = 1 >0, f(9) = 2-9-lg 10 = ^-1<0, .*.f(0)f(9)<0.
「•函数f(X)在区间(一1 , + 上有唯一零点.
(2)①x>0 5 g(x) = x + ^>2\/e2= 2e.
当且仅当x=e时取等号.
，函数g(x)的值域是［2e, +00 ),要使函数g(x)—m有零点，则只需 m>2e.
②若关于x的方程g(x) —f(x)= 0有两个互异的实根，即函数 g(x)与f(x)的图象 有两个不同的交点，作由 g(x) = x + e(x>0)的图象(如图2—16—2).
x、
3、【解析】函数f(x)的定义域为｛x|x<1｝且函数f(x)在定义域内的图象是连续的.
—1 1 — 2x
f (x) = 2 + -(x<1).
1 — x 1 —x
令 f (x)= 0,得