文档介绍：直线L: x—2y=0上，则此椭圆的离心率为
高中数学椭圆的知识总结
：
平面内一个动点 P到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(
PF1 +
PF2 =2a>|FF2 ),这
，两焦点的距离叫做椭圆的焦距
2 2
(3)试确定m的取值范围，使得椭圆 —+-y- = 1上有不同的两点关于直线 y= 4x+ m对称;
4 3
特别提醒：因为△ > 0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称
问题时，务必别忘了检验 A>0!
椭圆知识点的应用
注意：若PF1 + PF2
动点P的轨迹无图形.
=F1F2 ,则动点P的轨迹为线段F1F2 ;若
PFi + PF2 <|FF2 ,则
(1)椭圆：焦点在x轴上时
为参数)，焦点在y轴上时
2
土 1
a2 b
2 2
匕L
2 b2
：
2 2
(1)椭圆(以 x2 +y2 =1
a b
两个焦点(土c,0);③对称性:
2 2 2、
=1(a =b +c ) u
=1 ( a >b > 0)。
(a >b >0 )为例)：①范围:
两条对称轴 x = 0, y = 0,
{y：bsos；(参数方程，其中，
-a < x < a, -b < y <b ;②焦点:
一个对称中心(0,0 ),四个顶点
一 c
(±a,0),(0, 土b),其中长轴长为2a,短轴长为2b；④离心率：e =—,椭圆u 0<e<1, e a
越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。⑥
2 2
(2).点与椭圆的位置关系：①点P(x0,y0)在椭圆外u 笠十多>1; a b
2 2
②点P(x0,y°)在椭圆上u 笠+乌=1；③点P(x0,y°)在椭圆内u a b
2 2
X。 y。
—2 :1 1
a b
.直线与圆锥曲线的位置关系：
(1)相交：A >0 u直线与椭圆相交；(2)相切：A=0u 直线与椭圆相切;
(3)相离：△<0u直线与椭圆相离；
2 2
如：直线y— kx —1=0与椭圆二十匕=1恒有公共点，则 m的取值范围是
5 m
.焦点三角形(椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形)
：若直线
y =kx+b与圆锥曲线相交于两点 A、B,且x1，x2分别为A、B的横坐标,
则 AB = M+k2
Xi
-X2 ,若y1,y2分别为a、B的纵坐标，则
AB = ,：1
1
k2
yi - V2
AB所在直线方程设为
Y1 -Y2。
：遇到中点弦问题常用 “韦达定理”
2 2
L+匕4中
a2 b2
以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 k=-
或“点差法”
b2x0
-2 ，
a V。
求解。在椭圆
如(1)如果椭圆
2 2
人+乙=1弦被点A (4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是
36 9
2 2
x V .
(2)已知直线y=—x+1与椭圆2 + 2 =1(aAb>0)相交于A、B两点，且线段 AB的中点在 a b
？
任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件
a,b；一个定位条件焦点坐标，由焦
点坐标的形式确定标准方程的类型。
a,b,c的几何意义
椭圆标准方程中，a,b,c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。
分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:
_ _ , 2 . 2
(a > b > 0), (a〉c>0),且(a =b +c
可借助右图理解记忆:
a,b,c恰构成一个直角三角形的三条边，其中
3 .如何由椭圆标准方程判断焦点位置
椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程,
2)。
a是斜边，b、c为两条直角边。
判断焦点位置的方法是:
y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。
+By2 = C(A,B,C均不为零)是表示椭圆的条件
A
c c Ay2 Bv2 2 B 2
方程Ax2 + By2 = C可化为 & +-By- = 1 ,即三十回- = 1 ,所以只有 A B、C同号,
C C C C
A B
C C C C
且A*B时，方程表本椭圆。当一 >一时，椭圆的焦点在x轴上；当一〈一时，椭圆的焦点在y
A B A B
轴上。