文档介绍：高等数学下册知识点
第八章空间解析几何与向量代数
（一）向量及其线性运算
1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；
2、 线性运算:加减法、数乘；B =（5，母）
3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；
4、 利用坐标做向量的运算：设& =
则 a + b =（ax+bx,a+bv ,a+b7） t Aa = （Aax,Aav,Aa.）-
5、 向量的模、方向角、投影：
1） 向量的模:\r\ = ^x1 + y1 + e ；
2） 两点间的距离公式：|Ag| = J（*2 f 1）2 + （》2 - >1）2 + （役一 4）2
3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角a,8,7
x n y z
4） 方向余弦：cos”同，cos^ =同，cos/二同
2 2 2
cos a + cos p + cos y = l
5） 投影：Prjsd = \a\cos（p ,其中。为向量A与汀的夹角。
(―)数量积，向量积
―► ―►
1、数量积：..♦=] b cos 0
t t t 2
〔)Z ・ Z = a 2) a ~L b = a ■ b = 0
a ■ b = abv + abv + a_b, 尤 尤 y y z z
2、向量积•代=S X b
大小:\a\b sin。，方向：亦鼠6符合右手规则
―►
a x a = 0
―► ―► ―►
a II b <=^> a xb = 0
— — —
i j k
―►
axb = aY av a, x y z b b b
x y z
运算律：反交换律bxa=-axb
曲面及其方程
1、 曲面方程的概念：S : /(x,y,z) = 0
2、 旋转曲面：
yoz 面上曲线C : /(y,z) = 0 ,
绕〉轴旋转一周：/(y,±Vx2 + z2) = 0
绕z轴旋转一周：f (±& +必,式)=。
3、 柱面：
［尸(X, y) = 0
= 0表示母线平行于z轴，准线为 八 的柱面
z = 0
4、二次曲面
2 2
1） 椭圆锥面：尸万云一
2 2 2
% y z _ 1
2） 椭球面：芦+苻+万=1
CT U Cz
2 2 2
% y z _ 1
旋转椭球面：TT+ -T+ = 1
Lt- C4- （_/
2 2 2
x y z
—1_
3） 单叶双曲面：2十儿2 2
CT U Cz
2 2 2
工 y z _
4） 双叶双曲面：TT — 7T 一户—
CT U Cz
2 2
x y _
5） 椭圆抛物面：疽"*苻=Z
2 2
2L
6） 双曲抛物面（马鞍面）：决"一万亍
2 2
x y 1 —I— 1
7） 椭圆柱面：。2 》2 一
2 2
1__ — 1
8） 双曲柱面：。2 》2
2
9） 抛物柱面：x = qy
（四）空间曲线及其方程
一般方程:
F (x, y, z) = 0
G(x, y, z) = 0
x = a cos t
2、
参数方程：
=a sin t
z = bt
F(x, y,z) = 0
G(x,y,z) = O '消去 Z
3、空间曲线在坐标面上的投影
H (x,y)= 0
，得到曲线在面xoy上的投影＜ 八
z = 0
平面及其方程
1、 点法式方程：A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
法向量•.元= (A,B,C)，过点(x0,y0,z0)
2、 一般式方程：Ax + By + Cz + D = 0
x y z
截距式方程：~+T+~
Cr C-
3、两平面的夹角：亓i =(Ai，%Ci), ii2 =(A2,B2,C2),
q 以匹+片旦+ GC2I
+ C； • J A； + B； + C；
J_ XI? A2 + B[B^ +。1。2 = o
n1 //n2 g
a2 b2 c2
4、点尸o(*o，＞o，z°)到平面 A、+ By + Cz + D = 0 的距离：
d _ \^xo + By0 + Cz0 + D\
^a2+b2 + c2
（六）空间直线及其方程
+ y + Ctz + £>] = 0
一般式方程：
A2x + B。y + Ct z + D2
2、
对称式（点向式）方程:
•^-•^0 = y-y0 = z-z0
m n p
方向向量:M = （m,n,p），过点（^。，^。，妈）
x = x0 + mt
3、 参数式方程：<