1-3梯度－散度－旋度.pdf

文档介绍：梯度、散度、旋度
1. 标量的梯度
“三度”、“三定理” 2. 矢量的通量、散度、高斯定理
3. 矢量的环流、旋度、斯托克斯定理
4. 亥姆霍兹定理
5. 坐标系(复习)
——“三度”、“三定理”
梯度、散度、旋度(English) 标量的“梯度”
等值面:
Gradient——grad
•等温线
•等高线
b d
Divergence ——div
?“爬山” a 等值面 c
同样的增量情况下
沿什么方向最“陡”?
Curl——curl u dl u +du
l
——数学模型:标量函数U, l + dl
沿某个方向的变化率情况
标量函数U,沿某个方向的变化率情况标量沿其他方向的变化率
——数学模型
¶U ¶U ¶n ¶U r
方向导数: DU dU = = cosθl,n = (ÑU ) · al
Þ ¶l ¶n ¶l ¶n
Dl dl
引申出去: r
梯度是表示标量最大空间增长率 dU = (ÑU) · dl
的大小和方向的矢量。
r dU
ÑU = gradU = an 引入算符——哈密顿算符: Ñ
Dl dn
等值面 Hamiltonian
Gradient——grad
1
不同坐标系下的表示如何记忆?
r ¶ r ¶ r ¶ d
笛卡儿坐标系中: Ñ = a + a + a Þ Ñ
x ¶x y ¶y z ¶z dl
笛卡儿坐标系中微分长度
r ¶ r 1 ¶ r ¶ r r r r
柱面坐标系中: Ñ = a + a + a dl = axdx + a ydy + azdz
r ¶r ϕ r ¶ϕ z ¶z
r ¶ r ¶ r ¶
Ñ = a + a + a
r ¶ r 1 ¶ r 1 ¶ x ¶x y ¶y z ¶z
球坐标系中:Ñ = a + a + a
R ¶R θ R ¶θϕ R ×sin θ¶ϕ
dU dU
Þ Ñ Þ Ñ
dl dl
柱面坐标系中微分长度球坐标系中微分长度
r r r r r r r r
dl = ardr + aϕ(r × dϕ) + azdz dl = aRdR + aθ(R × dθ) + aϕ(R ×sinθ× dϕ)
r ¶ r 1 ¶ r ¶
Ñ = ar + ay + az r ¶ r 1 ¶ r 1 ¶
¶r r ¶ϕ¶z Ñ = aR + aθ+ aϕ
¶R R ¶θ R ×sin θ¶ϕ
例题答案1
已知:
V =V (R,θ) = V0 × R ×cosθ
r
令: E = ­ÑV r r r
r E = ­ÑV = ­(aR cosθ­ aθ sinθ)V0
求: E = ?
法一:直接法——求坐标系梯度公式!
r
E = ­Ñ V = ?
r ¶ r 1 ¶ r 1 ¶
Ñ = a + a + a
R ¶R θ R ¶θϕ R × sin θ¶ϕ
2
答案2 ?
法二:分析法——找规律! 答案1
r r r
V = V (R,θ) =V0 × R × cosθ= V0 × z
E = ­ÑV = ­