文档介绍：《切点三角形》教案
随着中考改革的不断深入，依纲据本的中考题目都是经过命题者的妙构巧思编拟而成 的，很多题目的背景就是课本中的典型例题****题或思考题的重现，所以中考复****要认真 研究和挖掘课本中的各种题目的功能。
【例题】 已知：如图，和。外切于点a, MN是。O1和。的公切线，B、
C为切点。求证：AB±AC=(初中几何第三册P129)
【证明1] 过A作。Oi和。O2的内公切线交BC于点0。
•「OB、OA 是。Oi 的切线， .\OB=OAo 同理 OC=OA。
.I OB=OA=OC, .L ZXABC 是直角三角形， /.ABXACo
【证明2] 连接 BO〕、CO2、0102,则有 ZO1AB = 90°-|-ZB(9lA 和
ZO,AC = 90° --ZCOo A ；
2 2 -
ABAC = 180° — (90° — ? Z3QA) -(90°-1ZCO2A) = | (ZBO}A + ZCO2A) = 90°。
即 ABXACo
由三切点A、B、C组成的△ ABC,我们称为“切点三角形"。其中ZBAC=90°,本题 揭示了 “切点三角形”的特征及其产生背景的过程。熟悉它可以帮助我们轻松解决一类“以 切点三角形”为背景的中考创新题。
【变式一】 如图，。01和。。2外切于点A, BC是。01和。。2的公切线，B、 C为切点。AT为内公切线，AT与BC相交于点T,延长BA、CA,分别与两圆交于点E、F。
求证：AB AC = AE AF ；
若AT=2, OOi和。O2的半径之比为1： 3,求AE的长。
审题与思路： 本题以“切点三角形”为背景，进一步探讨其他相关的结论, 其关键仍然是发掘“ZBAC=90°”这一特性的作用。
解:(7)证明：连结BF、CE
由Z\ABC为切点三角形，知ZBAC=90°,
.•.ZBAF=ZCAE=90°,
又•: ZE=ZACT=ZTAC=ZFAM=ZABF AB AE
:.AABF^AAEC,... ——=——，・.・ AB AC = AE AF o AF AC
(2) ZBAF=ZCAE=90°,
AE CE 3
「•BF、CE 分力UzeOOi、的直径， 「• = =—，
AAE=3ABo 由 AT=TC=TB=2,矢口 BC=4, VBCXCE, CA_LBE,
：.BC' =BA BE ,即 42 =BA 4BA,
/.BA=2, AE=3BA=6o
【变式二】 如图，。01和。。2外切于点A, BC是。01和。。2的公切线，B、
C为切点，边结AB、AC,设。Oi的半径为R,的半径为r, (1)求证：ABXAC；
(2)若R=3r,求坐■的值；(3)若tanZBAC = V2 ,则^的值。
AC r
解:(1)略;
(2)连结001、002,与AB、AC分别交于点E、F,
•..0A、0B是。0|的切线，
.\00i±AB„同理 0。2上AC。根据(1)的结论ABXAC,可知四边形0EAF是矩形，有
ZEOF=90°。连结 OQ2，有 OA_LOiC>2。在 RtAOiOOa 中，有 RtAOiAO<^ RtAOAO2,
_2± =圣于是，OA2=O}A = R r = 3r\
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