文档介绍：第二章 点、直线、平面之间的位置关系（章末小结）
本章知识结构及知识点详析：
平面
——平面的概念和性质
—平面的表示法
直 线 与 平 面
空间两
条直线
I— 平行直线一公理4及等角定理
―— 异面直线一异面直线所成的角
'—相交直线
空间
—直线与
平面
I—直线在平面内
―—直线与平面平行
I—直线与平面相交
I念—直交 I概—垂斜 rT
空间两
个平面
两个平ffi平行
概念
1
■两个平面相父 ■
-p垂直
二面角
L斜交
判定性质
（一）平面
1、 平面的概念及表示
平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是绝对平、具有无限延展性.
平面通常用希腊字母a、0、丫等表示，如平面a、平面0等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者 相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面ABCD、平面AC等.
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画.
描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言.
点A在直线a上（或直线a经过点A）
A a
Aea
元素 与集 合间 的关 系
点A在直线a外（或直线a不经过点A）
•片
Ag a
a
点A在平面a内（或平面a经过点A）
Aea
点A在平面a外（或平面a不经过点A）
二
Ag a
平面的基本性质（三个公理）
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理1作用：判断直线是否在平面内
公理2作用：确定一个平面的依据
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据
（-）空间直线
1、空间两条直线的位置关系
（1） 相交直线——有且仅有一个公共点；
（2） 平行直线——在同一个平面内，没有公共点；
（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.
2、 平行直线
（1） 公理4 （平行直线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
a//bl „
符号表示：设a,b,c为直线，c"bj
（2） 空间等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那 么这两个角相等.
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角 （或直角）相等.
3、 异面直线
（1） 定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
（2） 有关概念：
（i ）设直线a,b为异面直线，经过空间任意一点0作直线a ' , b',并使a' //a, b' //b,则把a'和b'所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角.
特例：如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直.
认知：设&为异面直线a, b所成的角，则（0,-].
2
（ii） 和两条异面直线都垂直相交的直线（存在且唯一），叫做两条异面直线的公 垂线.
（iii） 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫 做两条异面直线的距离.
（三）空间直线与平面
1、直线与平面的位置关系：
（1） 直线在平面内——直线与平面有无数个公共点；
（2） 直线和平面相交——直线与平面有且仅有一个公共点；
（3） 直线和平面平行一直线与平面没有公共点.
其中，直线和平面相交与直线和平面平行统称为直线在平面外.
2、 直线与平面平行
（1） 定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，则说这条直线和这个平面平行，此 为证明直线与平面平行的原始依据.
（2） 判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线 和这个平面平行.
认知：应用此定理证题的三个环节：指出aczot,说明b u a ；论证a // b a // a
（3） 性质：性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个 平面相交，那么这条直线和交线平行.
3、 直线与平面垂直
（1） 定义：如果直线/和平面a内的任何一条直线都垂直，则说直线/和平面a互 相垂直，记作I ± a .
（2） 判定：
判定定理1：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂 直于这个平面.
符号表示：/丄 a,/丄u u = P二>/丄 a
判定定理2：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这 个平面.
符号表示：a//b,aLa^>bLa
（3） 性质
性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
符号表示：a±a,bLa^>a//b
（4） 概念