文档介绍：浓度由〃变到〃2所需之溶质为
Mx = |||c[w(x, y,z,t2)~ ^ixdydz = \\^C^-dtdv = i^^C^dvdt
q e - a* - e 出
两者应该相等，由奥、高公式得：
m'=ijjjc告部出
tt Q 5
服仃合/八伽）a ［八所）6 （ du\ ，叫幅〔。态J+旬瓦1
其中C叫做孔积系数=孔隙体积。一般情形C = lo由于。，有，弓的任意性即得方程：
加。「伽）。「伽）。「伽）
C——=——D——+——D——+——D——
dt 办 I dx） dy \ dy J dz \ & J
（混凝土）内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的
水化热成正比。以Q（r）表示它在单位体积中所储的热量，0,为初始时刻所储的热量，则
— = ~/3Q,其中”为常数。乂假设徐的比热为c,密度为p,热传导系数为k,求它在浇后温 dt
度〃满足的方程。
解：可将水化热视为一热源。由* = —PQ及饥=o=Q°得。。=0<伐。由假设，放
热速度为
Qg"
它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书71页，（）式得
，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程
du
~dt
k d2u k]P / 、
o (u-Uq)+ —
cp ox cpco cpco
其中，及,分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长，口表示横截面面积，而化表示导线对于介质的热交换系数。
解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原71页（）及（）式知方程取形式为
du ? Mu (、
其中a- = —t） = F0）/cp, F（x,f）为单位体积单位时间所产生的热量。 cp
由常电流，所产生的氏（x,f）〃r/<y2。因为单位长度的电阻为二,因此电流，作功为
0）
第二章热传导方程
§ 1 热传导方程及其定解问题的提
1. 一均匀细杆直径为/,假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律
dQ = *1 )dsdt
又假设杆的密度为比热为c,热传导系数为k,试导出此时温度"满足的方程。
尻2
解：引坐标系：以杆的对称轴为工轴，此时杆为温度u = u(x,t)。记杆的截面面积一一为S。
4
由假设，在任意时刻[到i Z内流入截面坐标为尤到x + Ax 一小段细杆的热量为
dQi =k^\x+Ax s^t-k^-\xsAt =k^-\xs^x^t
杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻I到1 +也在截面为工到x +Ax 一小段中产生的热量为
dQa ~ 一一 Wj — —(u —
又在时刻i到z + Ar在截面为工到x + Ax这一小段内由于温度变化所需的热量为
dQ^ = cp\u(x,t + zV)_〃G，f)]sAx = cp—\ts^x^t
dt
d2u
dx2
由热量守恒原理得：
x sAxZV -
du .. ,
du cp — dt
_q_竺源/
L (〃 -以］)
或
du _
k d2u 4幻
-(w - Ml )
dt
cp dx2 cpi
\ \ 17
其中
a2 =
k
cp
。
消去sAx*,再令AxtO,也tO得精确的关系：
Cp ——t S心Nt = K dt
解：在扩散介质中任取一闭曲面s,其包围的区域为。，则从时刻匕到灼流入此闭曲面的溶
质，由 W=-£＞也出出，其中。为扩散系数，得
dn
'2 O
M = \ \\D—dsdt
J J J dn
X"+2X =0 X(0) = 0 X'(〃)= 0
T, + a2AT = 0
求非零解 X ⑴得 & =(2乃:1), X 〃⑴=sin 2〃；] x (n = 0,1, • • •)
对应T为
因此得
由初始值得
因此
g2(2n+l)2
Tn^ = Cne —'
m a2(2n+l)2
'、& ——Z,2n + l
u(x,t) = / Cne 4 sin—-—x
n=0
阵、夺厂 . 2〃 + l
f(x)=2^Cn Sin—— x
n=0 2
2[ 2〃 + l
Cn = — J j(x) sin 一:一 xax
a2(2n+l);
故解为
CO . 〃 r\ . i
〃3")= Z—]7(&)sin-^—夕 £七 4
〃=0“0 2
用分离变量法求解热传导方程的混合问题
.2n +1