文档介绍：第一定义 把椭圆从圆中分离
椭圆从圆(压缩)变形而来，，但又产生了 2个新的定点—— 确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.
【例1】若点M到两定点片(0, -1), F2 (0, 1)的距离之和为2,则点M的轨迹是 ( )
4 .椭圆 B直线许巧 ・
【解析】注意到I耳笃1 = 2,且百| + |M场1 = 2,故点M只能在线段耳笃上运动，即点M的轨迹就是线段吋2,选C.
【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件，，就会错误地选A.
勾股数组——椭圆方程的几何特征
椭圆的长、短半轴a、b和半焦距c,满足# = b：+、b、c二个参数中，只要已知或求出其中的任意两个，便可以求出第3
个，继而写出椭圆方程和它的一切特征数值.
椭圆方程的标准式有明显的几何特征，.
【例2】U知圆A:(x + 3)2+ y2 =100 ,圆A内一定点B (3, 0),圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程.
【解析】如图，设两圆内切于C,动点P (x, y),
则 a、p、c ac、pb, |pa|+|pb| = |AC| = 10
2 2
乞+丄
25 16
1.
为定长，而A (-3, 0), B (3, 0)为定点，.•.圆心P的 =5,c = 3,:. b = 4 .所求轨迹方程为：
第二定义一椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟
如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程，，我们 可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题.
2 2
【例3】已知椭圆丄+「= 1，能否在此椭圆位于y轴左侧部分上找一点P,使它到左准线的距离是它到两焦点巧，F2距离的比 4 3 '
例中项.
【解析】由椭圆方程知：a = 2,b = a/3, c = l,e =—.
椭圆的左准线为：l：X = - (x, y)
(x<0)
= 引场卜® 则有：
^Hf^PF^PF^d 2 = rvr2 .但是
12
斤=ed = —d,r2 =2a-r\ = 4 ——d .
:.d- =-d-\4--d]=>d =-.又 d = x + 4,." = §_4 = _U.
[ 2 5 5 5
这与xw [-2,2] .
•通法特法妙法
(1)解析一解析几何存在的理由
，，根据任 意一个二元方程，，可以将几何问题转化为解方程、方程组或不等式.
【例4】点p (x, y)在椭圆4(x-2)2+y2=4±,则上的最大值为 ( )
X
B.-l C. - —a/3
3
【解析】设— = k^>y=kx (1)
x
方程(1)表示过椭圆(X-2)2+^- = l± -点P (x, y)
，k =-
X
(1)代入椭圆方程得：
4（x-2）2+A:2x2 =4^（4 + Jl2）x2-16x + 12 = 0 （2）
△ = 256-48（4 + 疋）=0"2
纟••90, .••取"2 舲，选 D.
3
由于直线与椭圆相切，故方程(2)
【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根，因而可转化为其判别式为零处理；同理，直线与曲线相 交要求相应的判别式大于零，相离则要求这个判别式小于零.
(2)导数一把方程与函数链接
由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算，所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算，又能达到解题目的的好方法，导数法就是 最为明显的一种.
2 2 ,
【例5】求证：过椭圆一+丄〒=1上一点M fx0, y0)的切线方程为：；+ '叮=1 •
a b a b
【证明一】(解析法)设所求切线方程为：丁一丁0=鸟(兀一兀0)，代入椭圆方程：
b2x2 + a2 (kx - kxG + y0 )2 = a2b2 .化简得：
(k2a2 _2ka2 (fcv0 -y^x + a2 |^(Ax0 -y0)2 -b2 = 0 (1)
•・•直线与椭圆相切，・•・方程(1)有相等二实根