文档介绍：例1飞船的月球软着陆问题。
安全着陆
(1)消耗的燃料最小；
飞船
(2) /z=0, vz=0,假设£=0时刻启动软着陆程序，则运动方程为<
v = g，
m
rh = -kf
飞船从初始状态0=0) <
人(0)=为
u(O) = Vo n实现软着陆<
m(0) = M + F '
自身的重量燃料
仰)=0
E)=。’约束条件赤九
飞船消耗燃料最小的目标=> 最终目标：J =m(tQ T max
例2导弹拦截问题：指发射火箭拦击敌方洲际导弹或其夭航天武器。
x(t)
{ L与目标M的相对位置和相对速度
a(t)：相对加速度 m(r)：拦截器的质量 F(0：推力大小
电)=工0
初始条件(t = t°) < v(r0) = v0 m(t0) = mQ
运动方程:
x = v
.小 F(t)
v = a(t) u
. F(t)
m =
c
拦截器既要控制其推力F(r)的大小，又要控制推力的方向。
瞬时推力尸。)满足0MFQ)〈球皿
= 0
n t = tf成功<
[m(tf) = me
实现快速拦截，尽可能节约燃料，建立性能指标(目标)
j = p [c,+
例3空对空导弹拦截
假设(1)导弹与目标的运动发生在同一水平面内；
能产生较大的铅重方向升力以抵消导弹的重量；
导弹推力方向与其速度方向一致；
目标以定常速度航向飞行。
①目标的运动方程
& =*cos%
< ym=vm sin<pmm是导弹£的质量，F是导弹侧向控制力，c推进器的排出速度，”是秒流量，幻是导弹的阻力因子。
⑵导弹的运动方程
=vd cos rd
yd =cdsinrd
vd = — (c/3-kdvd2)状态控制量 u =[«] w2]r = [/? F]r
令 x = xm-xd, y = ym - yd
则状态变量》=[羽 x2 x3 x4 x5 x6]r = [x y vd rd m vj
〈 m -
F
I =
vdm
m- P
则状态方程为
1 一个n维函数向量也)=[/；。)/。),•••,/()]「对数量自变量，的导数坪=磐1,典1,...,宅少\
at at at at
2 一个nxm矩阵函数导数也是对其每一个元素，分别求导数。
性质：设A, B, C场函数矩阵，2 = 2(0数量函数，则有:
d(A±B) dA dB dAA dX . . dA dAC dA . dC
dt dt dt dt dt dt dt dt dt
例1试求x\t)Ax(t)对，的导数，工。)是〃维函数向量，A是nxn对称常数矩阵。
小 dx1 Ax dxT A T dAx T A t,dA A dxx _ T A ,、、 * dA 八、 解: = Ax + x = x Ax + x (— x + A —) = 2x Ax (汪启、: —0 )
dt dt dt dt dt dt
/74-1 z74
例 2证明——= -A''—A'1 ,设 A(f) = detA^Oo
dt dt 1
证明：利用I = AA {和史=0。
dt
二、对向的导i
1设f = f(X)= f 31，工2，一，£)是以向量X为自变量的数量函数，X是〃维列向量X =(叫,心，…，X")'，则
可用来求梯度：W = gra#(x)=或回 dx
...^(%)]7 , % = [%! %2 ... XnY , /?(%) = [/?/%) Z?2(X) ... ^(%)]?
F(x) =
•AQ) •
•九3)
dF(x) _
dxx
XiW •
•九3)_
f 一
dx
dF(x)
dF(x)
dxt
d 孩)5F(x)
， t~ = L z
dx dx{
dF(x)
'c 」mxnl
nmxl
F< .
.鱼]
r< .
dxY
dxn
dxx
dxn
df(x) = df(x)= dx dxT
dF(x) df(x)T
. : ' / =(疽)=
dx dx
dfm
dfm
dfm
Ox：]
dxx
SX„ _
2设/(%) =[//%),/2(X),---,/m(X)f^m向量函数,且x为n维列向量，则
性质：。(%) = [% ⑴ 。2(%)
八 d(a±b) da db d(Aa)T dA T daT .八 daTb daT ,