文档介绍：从椭圆的光学性质产生的联想
上海交大附中 倪桓华
名师基地交流课，2009年3月12日上午第5节，10届（3）班，理科实验楼514
教学目标：
1、通过对椭圆光学性质及其几何证明的阅读理解，（1）激发对圆锥曲线的兴趣；（2）获得对椭圆切线的几何特征的认识，得到过椭圆上一点的切线的尺规作法，并进一步得到椭圆的作法；（3）类比椭圆光学性质的几何证法，证明双曲线和抛物线的光学性质。
2、在学生阅读理解并作一些延伸思考的基础上，反思并感悟阅读理解的方法以及类比研究的方向。
3、激发学生的研究兴趣，可以在课后进一步作拓展研究。
教学实施：
一、课前预****br/>1、课本P51阅读材料（印发中文翻译）：椭圆曲线的一个应用
2、回答下列问题：
（1）物理学中的反射原理是什么？反射原理如何应用于光滑曲面？
（2）椭圆具有怎样的光学性质？
（3）如何证明椭圆的光学性质？
（4）在阅读的过程中，有什么不能理解的地方吗？
（5）在上述问题的解决过程中，你能否作一些相关的联想？并对你的联想作必要的说明和证明。请和你周围的同学一起交流研究，既可以分享自己的研究心得，也可以在大家的交流讨论中获得更多的灵感。
3、课前收集学生的问题和想法，进行汇总。
二、课堂教学过程：
我们课前阅读了一篇很美的阅读材料，这篇文章的美体现在简洁、流畅的文笔、精炼到位的表述、漂亮的证明，同时它引领我们从一个新的视角认识圆锥曲线的切线——几何视角，为我们认识和解决问题打开了一个新的思路。下面我们在预****的基础上一起感受、分享我们的收获。
1、回答课前预****的问题，着重解决：
（1）反射原理：在经过光线并垂直于镜面（曲面的切平面）的平面中研究光线的反射问题。
图1
（2）椭圆光学性质证明的思路和方法
光学性质：从椭圆一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线过椭圆的另一个焦点。
如图1，直线MN为椭圆的切线， P为切点，F1P为入射光线
证明：作F1关于切线MN的对称点R，只需证F2、P、R三点共线。
反证法：假设F2、P、R三点不共线，设F2R的连线交切线MN于点Q。
则RF2 =RQ+QF2=QF1+ QF2 >2a
又RF2 <RP +PF2 =PF1 + PF2 =2a，产生矛盾，所以F2、P、R三点共线，即反射光线过焦点F2.
2、对椭圆切线的认识
从方程角度：与椭圆方程联立，得到的一元二次方程的判别式等于零。
从几何角度：与椭圆只有一个公共点，即切点（设为P）。
切线的几何特征：（1）切线上除切点外的点，到椭圆两个焦点的距离之和大于2a，即2a是切线上的点到椭圆两个焦点的距离之和的最小值；（2）与ÐF1PF2的平分线垂直，即ÐF1PF2的外角平分线；（3）F1关于切线的对称点R在F2P的延长线上，且F2R=2a.
以上特征反之亦然，证略。
3、基于对椭圆切线的认识，能否得到过椭圆上一点P的切线作法？
连结F2P并延长至R，使PR=PF1，连结RF1，作RF1的中垂线，即为过P点的椭圆切线。
4、考虑一个更为有趣的问题，已知椭圆的两个焦点和长轴长2a，如何作出椭圆？
启发：点P是线段F1R的中垂线与线段F2R的交点
作法：以F2为圆心，2a为半径作圆，在圆上任取一点K，作F1K的中垂线，与直线F2K交于点T